Bài toán tìm ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm I(a;b) tỉ số k nhiều khi còn được phát biểu dưới dạng tìm phương trình đường thẳng là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm I tỉ số k. Với dạng toán này ta có một số cách như sau:
Cách 1: Sử dụng tính chất của phép vị tự
Phép vị tự biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
Cách 2: Sử dụng định nghĩa phép vị tự
- Trên đường thẳng d lấy hai điểm M và N.
- Gọi M’ và N’ lần lượt là ảnh của hai điểm M và N qua phép vị tự tâm I tỉ số k.
- Tìm tọa độ hai điểm M’ và N’.
- Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua hai điểm M’ và N’
- d’ chính là đường thẳng ảnh cần tìm.
Cách 3:
Gọi $M(x;y)$ thuộc đường thẳng d và $M'(x’;y’)$ thuộc đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm I tỉ số k.
Ta có: $\vec{IM’}=k.\vec{IM}$
<=> $(x’-a;y’-b)=k(x-a;y-b)$
<=> $\left\{\begin{array}{ll}x’-a=kx-ka\\y’-b=ky-kb\end{array}\right.$
<=> $\left\{\begin{array}{ll}kx=x’-a+ka\\ky=y’-b+kb\end{array}\right.$
<=> $\left\{\begin{array}{ll}x=\dfrac{ x’-a+ka }{k}\\y=\dfrac{y’-b+kb}{k}\end{array}\right.$
Thay x và y ở trên vào phương trình đường thẳng d ta sẽ được phương trình của đường thẳng d’ cần tìm.
Trên đây là 3 cách các bạn có thể áp dụng để tìm phương trình đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự. Tuy nhiên những cách trên còn được sử dụng để tìm phương trình đường thẳng d khi biết phương trình đường thẳng d’.
Xem thêm bài giảng:
- Tìm tọa độ điểm ảnh qua phép vị tự
- Tìm ảnh của đường tròn qua phép đối xứng trục
- Tìm ảnh của đường thẳng qua phép quay
- Mẹo nhớ công thức lượng giác hay và bá đạo
- 50 bài tập trắc nghiệm giải phương trình lượng giác
Bài tập tìm ảnh của đường thẳng qua phép vị tự
Bài tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình $2x+y-4=0$. Hãy viết phương trình của đường thẳng d1 là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm O tỉ số k=3.
Hướng dẫn:
Cách 1: Dùng tính chất phép vị tự
Vì đường thẳng d1 là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm O nên đường thẳng d1 có phương trình là: $2x+y+c=0$
Bây giờ chúng ta cần tìm c=?
Lấy một điểm bất kì thuộc đường thẳng d. Ở đây thầy sẽ lấy điểm $A(0;4) \in d$. Gọi A’ là ảnh của điểm A qua phép vị tự tâm O tỉ số k=3.
Ta có: $\vec{OA’}=k\vec{OA}$ với $\vec{OA’}=(x’;y’)$ và $\vec{OA} =(0;4)$
<=> $(x’;y’)=3(0;4)$ <=> $x’=0; y’=12$ => $A'(0;12)$
Thay tọa độ điểm $A'(0;12)$ vào phương trình đường thẳng d1 ta có:
$2.0+12+c=0$ <=> $c=-12$
Vậy đường thẳng d1 có phương trình là: $2x+y-12=0$
Cách 2: Dùng định nghĩa phép vị tự
Lấy hai điểm $A(0;4)$ và $B(1;2)$ thuộc đường thẳng d.
Theo cách 1 thì ảnh của điểm A là $A'(0;12)$
Bây giờ ta cần tìm ảnh của điểm $B(1;2)$
Gọi $B'(x’;y’)$ là ảnh của điểm B qua phép vi tự tâm O tỉ số k=3
Ta có: $\vec{OB’}=k\vec{OB}$ với $\vec{OB’}=(x’;y’)$ và $\vec{OB} =(1;2)$
<=> $(x’;y’)=3(1;2)$ <=> $x’=3; y’=6$ => $B'(3;6)$
=> $\vec{A’B’}=(3;-6)$ => vectơ pháp tuyến của đường thẳng d1 là: $\vec{n}=(6;3)$
Đường thẳng d1 đi qua $A'(0;12)$ có phương trình là:
$6(x-0)+3(y-12)=0$ <=> $2x+y-12=0$
Cách 3:
Gọi $M'(x’;y’)$ là ảnh của điểm $M(x;y)$
Ta có: $\vec{OM’}=3\vec{OM}$ với $\vec{OM’}=(x’;y’)$ và $\vec{OM}=(x;y)$
<=> $(x’;y’)=3(x;y)$
<=> $\left\{\begin{array}{ll}x’=3x\\y’=3y\end{array}\right.$
<=> $\left\{\begin{array}{ll}x=\dfrac{x’}{3}\\y=\dfrac{y’}{3}\end{array}\right.$ (1)
Thay x và y ở (1) vào phương trình đường thẳng $d$ ta có:
$2. \dfrac{x’}{3}+ \dfrac{y’}{3}-4=0$ <=> $2x’+y’-12=0$
Vậy phương trình của đường thẳng d1 là: $2x+y-12=0$
Bài tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình $2x+3y-6=0$. Hãy viết phương trình của đường thẳng d2 là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm $I(-1;2)$ tỉ số k=-2.
Hướng dẫn:
Cách 1:
Gọi d2 là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm I tỉ số -2 nên đường thẳng d2 có phương trình là: $2x+3y+c=0$
Lấy điểm $M(3;0)$ thuộc đường thẳng d. Gọi $M'(x’;y’)$ là ảnh của điểm M qua phép vị tự tâm I tỉ số -2 nên ta có:
$\vec{IM’}=-2\vec{IM}$ với $\vec{IM}=(4;-2)$ và $\vec{IM’}=(x’+1;y’-2)$
<=> $(x’+1;y’-2)=-2(4;-2)$
<=> $\left\{\begin{array}{ll}x’+1=-8\\y’-2=4\end{array}\right.$
<=> $\left\{\begin{array}{ll}x’=-9\\y’=6\end{array}\right.$
=> $M'(-9;6)$
Thay tọa độ của điểm M’ và phương trình đường thẳng d ta có:
$2.(-9)+3.6+c=0$ <=> $c=0$
Vậy phương trình đường thẳng $d2$ có phương trình là: $2x+3y=0$
Cách 2:
Gọi $M'(x’;y’)$ là ảnh của điểm $M$ qua phép vị tự tâm I tỉ số -2
$\vec{IM}=(x+1;y-2)$ và $\vec{IM’}=(x’+1;y’-2)$
Ta có: $\vec{IM’}=-2\vec{IM}$
<=> $(x’+1;y’-2)= (x+1;y-2)$
<=> $(x’+1;y’-2)= (-2x-2;-2y+4)$
<=> $\left\{\begin{array}{ll}x’+1=-2x-2\\y’-2=-2y+4\end{array}\right.$
<=> $\left\{\begin{array}{ll}2x=-x’-3\\2y=-y’+6\end{array}\right.$
<=> $\left\{\begin{array}{ll}x=\dfrac{-x-3}{2}\\y=\dfrac{-y’+6}{2}\end{array}\right.$ (1)
Thay x và y ở (1) vào phương trình đường thẳng d ta có:
$2.\dfrac{-x’-3}{2}+3\dfrac{-y’-6}{2}-6$
<=> $(-2x’-6)+(-3y’+18)-6=0$
<=> $2x’+3y’=0$
Vậy phương trình của đường thẳng d2 là $2x+3y=0$
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ
Phép vị tự phải có trị tuyệt đối chứ ạ