Tìm ảnh của đường thẳng qua phép vị tự

Bài toán tìm ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm I(a;b) tỉ số k nhiều khi còn được phát biểu dưới dạng tìm phương trình đường thẳng là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm I tỉ số k. Với dạng toán này ta có một số cách như sau:

Cách 1: Sử dụng tính chất của phép vị tự

Phép vị tự biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

Cách 2: Sử dụng định nghĩa phép vị tự

  • Trên đường thẳng d lấy hai điểm M và N.
  • Gọi M’ và N’ lần lượt là ảnh của hai điểm M và N qua phép vị tự tâm I tỉ số k.
  • Tìm tọa độ hai điểm M’ và N’.
  • Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua hai điểm M’ và N’
  • d’ chính là đường thẳng ảnh cần tìm.

Cách 3:

Gọi $M(x;y)$ thuộc đường thẳng d và $M'(x’;y’)$ thuộc đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm I tỉ số k.
Ta có: $\vec{IM’}=k.\vec{IM}$

<=> $(x’-a;y’-b)=k(x-a;y-b)$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x’-a=kx-ka\\y’-b=ky-kb\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}kx=x’-a+ka\\ky=y’-b+kb\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x=\dfrac{ x’-a+ka }{k}\\y=\dfrac{y’-b+kb}{k}\end{array}\right.$

Thay x và y ở trên vào phương trình đường thẳng d ta sẽ được phương trình của đường thẳng d’ cần tìm.

Trên đây là 3 cách các bạn có thể áp dụng để tìm phương trình đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự. Tuy nhiên những cách trên còn được sử dụng để tìm phương trình đường thẳng d khi biết phương trình đường thẳng d’.

Xem thêm bài giảng:

Bài tập tìm ảnh của đường thẳng qua phép vị tự

Bài tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình $2x+y-4=0$. Hãy viết phương trình của đường thẳng d1 là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm O tỉ số k=3.

Hướng dẫn:

Cách 1: Dùng tính chất phép vị tự

Vì đường thẳng d1 là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm O nên đường thẳng d1 có phương trình là: $2x+y+c=0$

Bây giờ chúng ta cần tìm c=?

Lấy một điểm bất kì thuộc đường thẳng d. Ở đây thầy sẽ lấy điểm $A(0;4) \in d$. Gọi A’ là ảnh của điểm A qua phép vị tự tâm O tỉ số k=3.

Ta có: $\vec{OA’}=k\vec{OA}$ với $\vec{OA’}=(x’;y’)$ và $\vec{OA} =(0;4)$

<=> $(x’;y’)=3(0;4)$ <=> $x’=0; y’=12$ => $A'(0;12)$

Thay tọa độ điểm $A'(0;12)$ vào phương trình đường thẳng d1 ta có:

$2.0+12+c=0$ <=> $c=-12$

Vậy đường thẳng d1 có phương trình là: $2x+y-12=0$

Cách 2: Dùng định nghĩa phép vị tự

Lấy hai điểm $A(0;4)$ và $B(1;2)$ thuộc đường thẳng d.

Theo cách 1 thì ảnh của điểm A là $A'(0;12)$

Bây giờ ta cần tìm ảnh của điểm $B(1;2)$

Gọi $B'(x’;y’)$ là ảnh của điểm B qua phép vi tự tâm O tỉ số k=3

Ta có: $\vec{OB’}=k\vec{OB}$ với $\vec{OB’}=(x’;y’)$ và $\vec{OB} =(1;2)$

<=> $(x’;y’)=3(1;2)$ <=> $x’=3; y’=6$ => $B'(3;6)$

=> $\vec{A’B’}=(3;-6)$ => vectơ pháp tuyến của đường thẳng d1 là: $\vec{n}=(6;3)$

Đường thẳng d1 đi qua $A'(0;12)$ có phương trình là:

$6(x-0)+3(y-12)=0$ <=> $2x+y-12=0$

Cách 3:

Gọi $M'(x’;y’)$ là ảnh của điểm $M(x;y)$

Ta có: $\vec{OM’}=3\vec{OM}$ với $\vec{OM’}=(x’;y’)$ và $\vec{OM}=(x;y)$

<=> $(x’;y’)=3(x;y)$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x’=3x\\y’=3y\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x=\dfrac{x’}{3}\\y=\dfrac{y’}{3}\end{array}\right.$ (1)

Thay x và y ở (1) vào phương trình đường thẳng $d$ ta có:

$2. \dfrac{x’}{3}+ \dfrac{y’}{3}-4=0$ <=> $2x’+y’-12=0$

Vậy phương trình của đường thẳng d1 là: $2x+y-12=0$

Bài tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình $2x+3y-6=0$. Hãy viết phương trình của đường thẳng d2 là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm $I(-1;2)$ tỉ số k=-2.

Hướng dẫn:

Cách 1:

Gọi d2 là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm I tỉ số -2 nên đường thẳng d2 có phương trình là: $2x+3y+c=0$

Lấy điểm $M(3;0)$ thuộc đường thẳng d. Gọi $M'(x’;y’)$ là ảnh của điểm M qua phép vị tự tâm I tỉ số -2 nên ta có:

$\vec{IM’}=-2\vec{IM}$ với $\vec{IM}=(4;-2)$ và $\vec{IM’}=(x’+1;y’-2)$

<=> $(x’+1;y’-2)=-2(4;-2)$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x’+1=-8\\y’-2=4\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x’=-9\\y’=6\end{array}\right.$

=> $M'(-9;6)$

Thay tọa độ của điểm M’ và phương trình đường thẳng d ta có:

$2.(-9)+3.6+c=0$ <=> $c=0$

Vậy phương trình đường thẳng $d2$ có phương trình là: $2x+3y=0$

Cách 2:

Gọi $M'(x’;y’)$ là ảnh của điểm $M$ qua phép vị tự tâm I tỉ số -2

$\vec{IM}=(x+1;y-2)$ và $\vec{IM’}=(x’+1;y’-2)$

Ta có: $\vec{IM’}=-2\vec{IM}$

<=> $(x’+1;y’-2)= (x+1;y-2)$

<=> $(x’+1;y’-2)= (-2x-2;-2y+4)$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x’+1=-2x-2\\y’-2=-2y+4\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}2x=-x’-3\\2y=-y’+6\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x=\dfrac{-x-3}{2}\\y=\dfrac{-y’+6}{2}\end{array}\right.$ (1)

Thay x và y ở (1) vào phương trình đường thẳng d ta có:

$2.\dfrac{-x’-3}{2}+3\dfrac{-y’-6}{2}-6$

<=> $(-2x’-6)+(-3y’+18)-6=0$

<=> $2x’+3y’=0$

Vậy phương trình của đường thẳng d2 là $2x+3y=0$

Chia sẻ lên mạng xã hội:

HOCTOAN24H

Cám ơn các bạn đã ghé thăm blog của mình. Hãy tặng HOCTOAN24H.NET 1 like + 1 lời động viên nếu thấy bài viết có ích với bạn. Chia sẻ với mục đích: "Cho đi là nhận"

Có thể bạn sẽ thích...

Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn!

Leave a Reply

You have to agree to the comment policy.

error: Xin lỗi đã làm phiền bạn !!