Tìm ảnh của đường tròn qua phép vị tự

Để tìm ảnh của đường tròn qua phép vị tự hay nhiều bài toán yêu cầu tìm phương trình đường tròn qua phép vị tự thì chúng ta sẽ áp dụng định nghĩa và tính chất của phép vị tự

Bài toán: Cho đường tròn (C) có tâm là A(x;y) và bán kính R. Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm I(a;b) với tỉ số k.

Phương pháp:

• Phép vị tự tâm I biến đường tròn tâm A bán kính R thành đường tròn tâm A’ bán kính R’ với $R’=|k|.R$ => Biết được R’
• Tìm tọa độ A’ là tâm đường tròn (C’) theo công thức: $\vec{IA’}=k.\vec{IA}$

Xem thêm bài giảng:

• Tìm ảnh của đường thẳng qua phép vị tự
• Tìm tọa độ điểm ảnh của một điểm qua phép vị tự
• Tìm ảnh của đường tròn qua phép tịnh tiến
• Hướng dẫn sử dụng đường tròn lượng giác

Bài tập tìm ảnh của đường tròn qua phép vị tự

Bài tập 1: Cho đường tròn (C): $(x-1)^2+(y-2)^2=4$

a. Tìm phương trình đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm $I(-2;3)$ tỉ số k=2.

b. Tìm phương trình đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm $I(-3;-2)$ tỉ số $k=-3$

Hướng dẫn:

a. Đường tròn (C) có tâm là $A(1;2)$ và bán kính R=2.

Vì đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) nên $R’=|k|R =2.2=4$

Gọi $A'(x’;y’)$ là ảnh của điểm A qua phép vị tự tâm I tỉ số k=2.

Ta có: $\vec{IA’}=(x’+2;y’-3)$; $\vec{IA}=(3;-1)$

$\vec{IA’}=k.\vec{IA}$

<=> $(x’+2;y’-3)=2(3;-1)$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x’+2=6\\y’-3=-2\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x’=4\\y’=1\end{array}\right.$

=> $A'(4;1)$

Vậy phương trình đường tròn (C’) là: $(x-4)^2+(y-1)^2=16$

b. Vì đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) nên $R’=|k|R =|-3|.2=6$

Gọi $A'(x’;y’)$ là ảnh của điểm $A(1;2)$ qua phép vị tự tâm $I(-3;-2)$ tỉ số $k=-3$.

Ta có: $\vec{IA’}=(x’+3;y’+2)$; $\vec{IA}=(4;4)$

$\vec{IA’}=k.\vec{IA}$

<=> $(x’+3;y’+2)=-3(4;4)$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x’+3=-12\\y’+2=-12\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x’=-15\\y’=-14\end{array}\right.$

=> $A'(-15;-14)$

Vậy phương trình đường tròn (C’) là: $(x+15)^2+(y+14)^2=36$

Bài tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C’) có phương trình: $x^2+y^2-6x+2y+1=0$ là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm $I(1;2)$ tỉ số $k=-2$. Tìm phương trình đường tròn (C).

Hướng dẫn:

Với bài toán này nếu không đọc kĩ đề bài thì nhiều bạn sẽ nhầm phương trình đường tròn bài cho là của đường tròn (C) và làm như bài toán 1. Nhưng ở bài này không như thế, ở đề bài cho phương trình đường tròn ảnh (C’) và tìm phương trình đường tròn (C) các bạn nhé.

Đường tròn (C’) có tâm là: $A'(3;-1)$ và bán kính là $R’=3$

Gọi $A(x;y)$ là tâm của đường tròn (C).

Ta có: $\vec{IA}=(x-1;y-2)$ và $\vec{IA’}=(3-1;-1-2)=(2;-3)$

Vì (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm I tỉ số k=-2 nên ta có:

$\vec{IA’}=k.\vec{IA}$

<=> $(2;-3)=-2.(x-1;y-2)$

<=> $(2;-3)=(-2x+2;-2y+4)$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}-2x+2=2\\-2y+4=-3\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x=0\\y=\dfrac{7}{2}\end{array}\right.$

Vậy tọa độ tâm A của đường tròn (C) là: $A(0; \dfrac{7}{2} )$

Ta có: $R’=|k|.R$ <=> $3=|-2|.R$ <=> $R=\dfrac{3}{2}$

Vậy phương trình đường tròn (C) là:

$(x-0)^2+(y-\dfrac{7}{2})^2=\dfrac{9}{4}$

<=> $x^2+(y-\dfrac{7}{2})^2=\dfrac{9}{4}$