Tìm ảnh của đường tròn qua phép vị tự

Để tìm ảnh của đường tròn qua phép vị tự hay nhiều bài toán yêu cầu tìm phương trình đường tròn qua phép vị tự thì chúng ta sẽ áp dụng định nghĩa và tính chất của phép vị tự

Bài toán: Cho đường tròn (C) có tâm là A(x;y) và bán kính R. Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm I(a;b) với tỉ số k.

Phương pháp:

  • Phép vị tự tâm I biến đường tròn tâm A bán kính R thành đường tròn tâm A’ bán kính R’ với $R’=|k|.R$ => Biết được R’
  • Tìm tọa độ A’ là tâm đường tròn (C’) theo công thức: $\vec{IA’}=k.\vec{IA}$

Xem thêm bài giảng:

Bài tập tìm ảnh của đường tròn qua phép vị tự

Bài tập 1: Cho đường tròn (C): $(x-1)^2+(y-2)^2=4$

a. Tìm phương trình đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm $I(-2;3)$ tỉ số k=2.

b. Tìm phương trình đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm $I(-3;-2)$ tỉ số $k=-3$

Hướng dẫn:

a. Đường tròn (C) có tâm là $A(1;2)$ và bán kính R=2.

Vì đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) nên $R’=|k|R =2.2=4$

Gọi $A'(x’;y’)$ là ảnh của điểm A qua phép vị tự tâm I tỉ số k=2.

Ta có: $\vec{IA’}=(x’+2;y’-3)$; $\vec{IA}=(3;-1)$

$\vec{IA’}=k.\vec{IA}$

<=> $(x’+2;y’-3)=2(3;-1)$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x’+2=6\\y’-3=-2\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x’=4\\y’=1\end{array}\right.$

=> $A'(4;1)$

Vậy phương trình đường tròn (C’) là: $(x-4)^2+(y-1)^2=16$

b. Vì đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) nên $R’=|k|R =|-3|.2=6$

Gọi $A'(x’;y’)$ là ảnh của điểm $A(1;2)$ qua phép vị tự tâm $I(-3;-2)$ tỉ số $k=-3$.

Ta có: $\vec{IA’}=(x’+3;y’+2)$; $\vec{IA}=(4;4)$

$\vec{IA’}=k.\vec{IA}$

<=> $(x’+3;y’+2)=-3(4;4)$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x’+3=-12\\y’+2=-12\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x’=-15\\y’=-14\end{array}\right.$

=> $A'(-15;-14)$

Vậy phương trình đường tròn (C’) là: $(x+15)^2+(y+14)^2=36$

Bài tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C’) có phương trình: $x^2+y^2-6x+2y+1=0$ là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm $I(1;2)$ tỉ số $k=-2$. Tìm phương trình đường tròn (C).

Hướng dẫn:

Với bài toán này nếu không đọc kĩ đề bài thì nhiều bạn sẽ nhầm phương trình đường tròn bài cho là của đường tròn (C) và làm như bài toán 1. Nhưng ở bài này không như thế, ở đề bài cho phương trình đường tròn ảnh (C’) và tìm phương trình đường tròn (C) các bạn nhé.

Đường tròn (C’) có tâm là: $A'(3;-1)$ và bán kính là $R’=3$

Gọi $A(x;y)$ là tâm của đường tròn (C).

Ta có: $\vec{IA}=(x-1;y-2)$ và $\vec{IA’}=(3-1;-1-2)=(2;-3)$

Vì (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm I tỉ số k=-2 nên ta có:

$\vec{IA’}=k.\vec{IA}$

<=> $(2;-3)=-2.(x-1;y-2)$

<=> $(2;-3)=(-2x+2;-2y+4)$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}-2x+2=2\\-2y+4=-3\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x=0\\y=\dfrac{7}{2}\end{array}\right.$

Vậy tọa độ tâm A của đường tròn (C) là: $A(0; \dfrac{7}{2} )$

Ta có: $R’=|k|.R$ <=> $3=|-2|.R$ <=> $R=\dfrac{3}{2}$

Vậy phương trình đường tròn (C) là:

$(x-0)^2+(y-\dfrac{7}{2})^2=\dfrac{9}{4}$

<=> $x^2+(y-\dfrac{7}{2})^2=\dfrac{9}{4}$

Chia sẻ lên mạng xã hội:

HOCTOAN24H

Cám ơn các bạn đã ghé thăm blog của mình. Hãy tặng HOCTOAN24H.NET 1 like + 1 lời động viên nếu thấy bài viết có ích với bạn. Chia sẻ với mục đích: "Cho đi là nhận"

Có thể bạn sẽ thích...

Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn!

Leave a Reply

You have to agree to the comment policy.

error: Xin lỗi đã làm phiền bạn !!