Tìm ảnh của một điểm qua phép quay

Trong chuyên đề về phép biến hình, thầy có viết được khá nhiều bài giảng về các dạng bài tập sử dụng phép tịnh tiến và phép đối xứng tâm. Nội dung chính của dạng bài tập đó chủ yếu dựa vào việc tìm tọa độ điểm hay là tìm ảnh của một điểm.

Trong bài giảng này thầy giới thiệu tới các bạn phép quay, đặc biệt thầy sẽ chia sẻ với các bạn công thức dùng để tìm ảnh của một điểm qua phép quay. Các bạn cũng có thể hiểu công thức này dùng để tìm tọa độ của một điểm qua phép quay.

Đối với phép quay thì chúng ta cần quan tâm tới tâm quay và góc quay. Tâm quay ở đây thông thường người ta hay cho là điểm O (gốc tọa độ), còn không thì có thể bài toán cho điểm $I$ bất kì khác điểm $O$. Đối với góc quay có thể âm hoặc dương. Âm hay ương phụ thuộc vào chiều quay, theo chiều kim đồng hồ là chiều âm, ngược chiều kim đồng hồ là chiều dương.

1. Công thức tìm ảnh của một điểm qua phép quay

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm $I(a;b)$ cố định. Xét phép quay tâm I, góc quay $\varphi$. Giả sử cho điểm $M(x;y)$ và điểm $M'(x’;y’)$ là ảnh của điểm $M$ qua phép quay tâm I. Khi đó ta có:

$\left\{\begin{array}{ll}x’=(x-a)cos\varphi -(y-b)sin\varphi +a\\y’=(x-a)sin\varphi +(y-b)cos\varphi +b\end{array}\right.$

Trường hợp đăc biệt:

Trong nhiều bài toán người ta cho tâm quay I là điểm $O(0;0)$. Khi đó biểu thức tọa độ của phép quay tâm O có dạng như sau:

$\left\{\begin{array}{ll}x’=xcos\varphi -ysin\varphi\\y’=xsin\varphi +ycos\varphi\end{array}\right.$

Trong biểu thức trên tọa độ của điểm I được thay bằng tọa độ của điểm O nên biểu thức gọn và đẹp hơn rất nhiều.

2. Bài tập áp dụng

Bài 1: Tìm ảnh của 3 điểm $A(3;-2); B(0;4)$ qua phép quay tâm O là gốc tọa độ, góc quay là $-\frac{\pi}{4}$

Hướng dẫn giải:

Khi đọc xong bài này, ta thấy ngay góc quay người ta cho mình là gốc tọa độ O nên việc xác định ảnh của các điểm trên là một côn việc khá dễ dàng. Chỉ việc thay vào biểu thức tọa độ là bài toán được giải quyết

Thầy nhắc lại biểu thức tọa độ xuống đây để các bạn tiện theo dõi:

$\left\{\begin{array}{ll}x’=xcos\varphi -ysin\varphi\\y’=xsin\varphi +ycos\varphi\end{array}\right.$

Với bài toán trên thì góc quay của chúng ta là $\varphi=-\frac{\pi}{4}$

a. Tìm tọa độ ảnh của điểm $A(3;-2)$

Gọi tọa độ ảnh của điểm A là $A'(x’;y’)$. Khi đó ta có:

$\left\{\begin{array}{ll}x’=xcos\varphi -ysin\varphi\\y’=xsin\varphi +ycos\varphi\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x’=3cos(-\frac{\pi}{4}) -(-2)sin(-\frac{\pi}{4})\\y’=3sin(-\frac{\pi}{4}) -2cos(-\frac{\pi}{4})\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x’=3(\frac{\sqrt{2}}{2}) +2(-\frac{\sqrt{2}}{2})\\y’=3(-\frac{\sqrt{2}}{2}) -2(\frac{\sqrt{2}}{2})\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x’=\frac{3\sqrt{2}}{2}-\frac{2\sqrt{2}}{2}\\y’=-\frac{3\sqrt{2}}{2} -\frac{2\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x’=\frac{\sqrt{2}}{2}\\y’=-\frac{5\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.$

Vậy tọa độ của điểm $A’$ là $A'(\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{5\sqrt{2}}{2})$

b. Tìm tọa độ ảnh của điểm $B(0;4)$

Gọi tọa độ ảnh của điểm B là $B'(x’;y’)$. Khi đó ta có:

$\left\{\begin{array}{ll}x’=xcos\varphi -ysin\varphi\\y’=xsin\varphi +ycos\varphi\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x’=0.cos(-\frac{\pi}{4}) -4sin(-\frac{\pi}{4})\\y’=0.sin(-\frac{\pi}{4}) +4cos(-\frac{\pi}{4})\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x’=0.(\frac{\sqrt{2}}{2}) -4(-\frac{\sqrt{2}}{2})\\y’=0.(-\frac{\sqrt{2}}{2}) +4(\frac{\sqrt{2}}{2})\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x’=4\frac{\sqrt{2}}{2}\\y’=4\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x’=2\sqrt{2}\\y’=2\sqrt{2}\end{array}\right.$

Vậy tọa độ của điểm $B’$ là $B'(2\sqrt{2};2\sqrt{2})$

Các bạn thấy công thức trên dùng để tìm ảnh của một điểm qua phép quay có đơn giản và dễ làm không? Qua dễ làm phải không? Cái gì mà chỉ việc thay vào công thức có sẵn thì hầu như là đơn giản. Một bài tập là đủ cho các bạn tham khảo rồi, điều quan trọng là thầy đã giới thiệu với các bạn công thức tìm tọa độ điểm ảnh. Các bạn có thể tìm thêm bài tập để áp dụng cho công thức trên.