Tìm ảnh của một điểm qua phép vị tự

Để tìm ảnh của một điểm qua một phép vị tự chúng ta sẽ áp dụng định nghĩa về phép vị tự. Bài giảng này thầy sẽ chia sẻ với các bạn một số ví dụ và bài tập về dạng toán này.

Định nghĩa phép vị tự

Cho điểm I và một số $k\neq 0$. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho $\vec{IM’}=k.\vec{IM}$ được gọi là phép vị tự tâm I tỉ số k.

Bài toán: Cho điểm A(x;y). Tìm tọa độ điểm A’ là ảnh của điểm A qua phép vị tự tâm I(a;b) tỉ số k.

Phương pháp:

Gọi $A'(x’;y’)$ là ảnh của điểm A qua phép vị tự tâm I tỉ số k, ta có:

$\vec{IA’}=k.\vec{IA}$

<=> $(x’-a;y’-b)=k(x-a;y-b)$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x’-a=kx-ka\\y’-b=ky-kb\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x’=kx-ka+a\\y’=ky-kb+b\end{array}\right.$

=> $A'( kx-ka+a ; ky-kb+b )$

Xem thêm bài giảng:

• Tìm ảnh của đường tròn qua phép tịnh tiến
• Tìm ảnh của đường thẳng qua phép quay
• Tìm ảnh của đường thẳng qua phép đối xứng trục
• Bài tập giải phương trình chỉnh hợp, tổ hợp

Bài tập tìm ảnh của một điểm qua một phép vị tự

Bài tập 1: Cho điểm $A(1;2)$ và điểm $I(2;3)$. Tìm tọa độ của điểm A’ là ảnh của điểm A qua phép vị tự tâm I tỉ số 2.

Hướng dẫn:

Gọi $A'(x’;y’)$

=> $\vec{IA’}=(x’-2;y’-3)$; $\vec{IA}=(-1;-1)$

Vì A’ là ảnh của điểm A qua phép vị tự tâm I tỉ số k =2 nên ta có:

$\vec{IA’}=2\vec{IA}$

<=> $ (x’-2;y’-3) =2(-1;-1)$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x’-2=-2\\y’-3=-2\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x’=0\\y’=1\end{array}\right.$

=> $A'(0;-1)$

Bài tập 2: Cho điểm $M(-2;5)$ và điểm $E(2;-1)$. Tìm tọa độ điểm M’ là ảnh của điểm M qua phép vị tự tâm E tỉ số -2.

Hướng dẫn:

Gọi $M'(x’;y’)$

=> $\vec{EM’}=(x’-2;y’+1)$; $\vec{EM}=(-4;6)$

Vì A’ là ảnh của điểm A qua phép vị tự tâm E tỉ số k =2 nên ta có:

$\vec{EM’}=-2\vec{EM}$

<=> $ (x’-2;y’+1) =-2(-4;6)$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x’-2=8\\y’+1=-12\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x’=10\\y’=-13\end{array}\right.$

=> $M'(10;-13)$

Bài tập 3: Cho điểm A(x;y). Biết A'(-3;5) là ảnh của điểm A qua phép vị tự tâm $I(2;4)$ tỉ số là 3. Tìm tọa độ điểm A.

Hướng dẫn:

Ta có: $\vec{IA}=(x-2;y-4)$; $\vec{IA’}=(-5;1)$

Vì A’ là ảnh của điểm A qua phép vị tự tâm I tỉ số 3 nên ta có:

$ \vec{IA’} =3 \vec{IA} $

<=> $(-5;1)=3(x-2;y-4)$

<=> $(-5;1)=(3x-6;3y-12)$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}3x-6=-5\\3y-12=1\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x=\dfrac{1}{3}\\y=\dfrac{13}{3}\end{array}\right.$

Vậy tọa độ điểm A là: $A( \dfrac{1}{3} ; \dfrac{13}{3} )$

Các bạn thấy việc tìm ảnh của một điểm bằng phép vị tự thật sự rất dễ phải không nhỉ? Chỉ cần hiểu phép vị tự là gì, định nghĩa phép vị tự thế nào thì các bạn sẽ tìm được tọa độ điểm ảnh thôi. Các bạn rèn luyện thêm một số bài tập thầy để bên dưới nhé.

Bài tập rèn luyện:

Bài tập 1: Cho điểm $M(2;-1)$. Tìm tọa độ điểm M’ là ảnh của điểm M qua phép vị tự tâm D(2;-2) tỉ số $\dfrac{1}{2}$

Bài tập 2: Cho điểm $A(-2;-3)$. Tìm tọa độ điểm B là ảnh của điểm A qua phép vị tự tâm $E(\dfrac{1}{2};2)$ tỉ số $-3$

Bài tập 3: Cho điểm $M(2;-1)$. Tìm tọa độ điểm N sao cho M là ảnh của điểm N qua phép vị tự tâm I(4;3) tỉ số $-2$