Để chứng minh hai vecto vuông góc với nhau nếu chúng được cho dưới dạng biểu thức tọa độ thì ta sẽ sử dụng tới kiến thức của biểu thức tọa độ của tích vô hướng. Cụ thể dựa vào điều kiện để hai vecto vuông góc với nhau là tích vô hướng của chúng bằng 0.
Tổng quát: Cho hai vecto $\vec{a}(x;y)$ và $\vec{b}(x’;y’)$. Hai vecto $\vec{a}$ vuông góc với vecto $\vec{b}$ khi và chỉ khi $\vec{a}$.$\vec{a}=0$ hay $xx’+yy’=0$
Xem thêm bài giảng:
- Tìm tọa độ điểm M cách đều 2 điểm A và B cho trước
- Tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng
- 2 cách viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng
Bài tập 1: Cho hai vecto $\vec{a}(1;2)$ và $\vec{b}(-1;m)$.
a. Tìm m để hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc với nhau.
b. Tìm m để hai vecto $\vec{a}(2m-1;3)$ và $\vec{b}(2;1-m)$ vuông góc với nhau
a. Hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi
$\vec{a}.\vec{b}=0$ hay $1.(-1)+2.m=0$ <=> $2m=1$ <=> m=$\dfrac{1}{2}$
b. Hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi
$\vec{a}.\vec{b}=0$ hay $(2m-1).2+3.(1-m)=0$ <=> $4m-2+3-3m=0$ <=> $m+1=0$ <=> $m=-1$
Bài tập 2: Cho ba điểm $A(-1;2), B(m-1;3), C(2;1)$. Tìm giá trị của m để tam giác ABC vuông tại B.
Tam giác ABC vuông tại B thì AB phải vuông góc với BC tại B hay
$\vec{AB}\bot\vec{BC}$ <=> $\vec{AB}.\vec{BC}=0$
Ta có: $\vec{AB} =(m;1)$ và $\vec{BC}=(3-m;-2)$
$\vec{AB}.\vec{BC}=0$ <=> $m(3-m)-2.1=0$ <=> $m^2-3m+2=0$ <=> $m=1$ hoặc $m=2$
Bài tập 3: Cho tam giác ABC với $A(1;6), B(2;6), C(1;1)$ và $H(m;2n+1)$. Tìm m và n để điểm H là trực tâm của tam giác ABC.
Điểm H là trực tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi AH vuông góc với BC và BH vuông góc với AC hay $\vec{AH}\bot\vec{BC}$ và $\vec{BH}\bot\vec{AC}$ hay $\vec{AH}.\vec{BC}=0$ và $\vec{BH}.\vec{AC}=0$.
Ta có: $\vec{AH}=(m-1;2n-5)$; $\vec{BH}=(m-2;2n-5)$; $\vec{BC}=(-1;-5)$; $\vec{AH}=(0;-5)$
$\left\{\begin{array}{ll}\vec{AH}.\vec{BC}=0\\\vec{BH}.\vec{AC}=0\end{array}\right.$
<=>$\left\{\begin{array}{ll}(m-1).(-1)-5(2n-5)=0\\ (m-2).0-5(2n-5)=0\end{array}\right.$
<=>$\left\{\begin{array}{ll}-m+1-10n+25=0\\ 2n-5=0\end{array}\right.$ <=>$\left\{\begin{array}{ll}m=1\\ n=\dfrac{5}{2}\end{array}\right.$
Vậy với $m=1; n=\dfrac{5}{2}$ thì điểm H là trực tâm của tam giác ABC.
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ
E chưa hiểu lắm về cách tim trực tâm của tam giác
H là giao điểm của 3 đường cao thì H là trực tâm của tam giác. do đó đường cao AH phải vuông góc với BC và đường cao BH phải vuông góc với AC. Từ đó sẽ có tích vô hướng của các vecto đó phải bằng 0. em xem kĩ lại lời giải nhé