Đối với giới hạn hàm số dạng vô định chúng ta thường gặp nhiều hơn là 2 dạng: 0/0 và vô cùng/vô cùng. Hai dạng vô định này thầy đã hướng dẫn các bạn làm trong hai bài giảng trước, nếu bạn nào chưa xem thì ghé thăm tại đây nhé. Trong bài giảng hôm nay thầy muốn hướng dẫn các bạn cách tìm giới hạn dạng vô định bằng quy tắc LHopital.
Quy tắc L’Hopital
Cho hai hàm số $f(x)$ và $g(x) \neq 0$.
- Nếu $\lim \limits_{x \to c}{f(x)}=\lim \limits_{x \to c}{g(x)}=0$ và $\lim \limits_{x \to c}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}=L$ thì $\lim \limits_{x \to c}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim \limits_{x \to c}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}$. L có thể hữu hạn hoặc vô hạn.
- Nếu $\lim \limits_{x \to c}{f(x)}=\lim \limits_{x \to c}{g(x)}=\pm\infty$ và $\lim \limits_{x \to c}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}=L$ thì $\lim \limits_{x \to c}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim \limits_{x \to c}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}$. L có thể hữu hạn hoặc vô hạn.
c ở đây có thể là 1 số $x_0$ hoặc có thể là $\pm\infty$
Điều kiện để áp dụng được quy tắc L’Hopital
Để áp dụng được quy tắc L’Hopital thì giới hạn $\lim \limits_{x \to c}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}$ phải tồn tại. Nếu giới hạn $\lim \limits_{x \to c}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}$ mà không tồn tại thì không thể áp dụng được nhé.
Khi đó ta không thể kết luận được :$\lim \limits_{x \to c}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim \limits_{x \to c}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}$
Với bài toán mà áp dụng được quy tắc L’Hopital, nếu những bước tiếp theo vẫn tồn tại giới hạn dạng $\frac{0}{0}$ hoặc là $\frac{\infty}{\infty}$ thì các bạn vẫn cứ áp dụng quy tắc L’Hopital cho tới khi hết dạng vô định.
Quy tắc L’Hopital ở đây vận dụng rất nhiều tới đạo hàm, vì vậy các bạn cần phải nhớ được hết các quy tắc tính đạo hàm của các hàm số.
Bài tập tìm giới hạn dạng vô định bằng quy tắc LHopital
Bài tập 1: Tính các giới hạn sau:
a. $\lim \limits_{x\to 0}{\frac{tanx-x}{x-sinx}}$ $\hspace{1.5cm}$ b. $\lim \limits_{x\to 1}{\frac{1+cos\pi x}{x^2-2x+1}}$ $\hspace{1.5cm}$ c. $\lim \limits_{x\to 0}{\frac{x^3}{x-sinx}}$
Hướng dẫn giải:
a. Các bạn thấy khi $x \to 0$ thì giới hạn trên có dạng $\frac{0}{0}$. Do đó ta sẽ áp dụng quy tắc L’Hopital cho giới hạn này như sau:
$\lim \limits_{x\to 0}{\frac{tanx-x}{x-sinx}}$
$=\lim \limits_{x\to 0}{\frac{(tanx-x)’}{(x-sinx)’}}$
$=\lim \limits_{x\to 0}{\frac{\frac{1}{cos^2x}-1}{1-cosx}}$
$=\lim \limits_{x\to 0}{\frac{1-cos^2x}{(1-cosx).cos^2x}}$
$=\lim \limits_{x\to 0}{\frac{(1-cosx)(1+cosx)}{(1-cosx).cos^2x}}$
$=\lim \limits_{x\to 0}{\frac{1+cosx}{cos^2x}}$
$=\frac{1+1}{1}=2$
Vậy : $\lim \limits_{x\to 0}{\frac{tanx-x}{x-sinx}}=2$
b. Các bạn thấy khi $x \to 1$ thì giới hạn trên cũng có dạng $\frac{0}{0}$. Ta có:
$\lim \limits_{x\to 1}{\frac{1+cos\pi x}{x^2-2x+1}}$
$=\lim \limits_{x\to 1}{\frac{(1+cos\pi x)’}{(x^2-2x+1)’}}$
$=\lim \limits_{x\to 1}{\frac{-(\pi x)’.sin\pi x}{2x-2}}$
$=\lim \limits_{x\to 1}{\frac{-\pi.sin\pi x}{2x-2}}$ (tới đây vẫn dạng 0/0, áp dụng tiếp)
$=\lim \limits_{x\to 1}{\frac{-\pi.(\pi x)’.cos\pi x}{2}}$
$=\lim \limits_{x\to 1}{\frac{-\pi.\pi.cos\pi x}{2}}$
$=\frac{-\pi^2.(-1)}{2}=\frac{\pi^2}{2}$
Vậy: $\lim \limits_{x\to 1}{\frac{1+cos\pi x}{x^2-2x+1}}=\frac{\pi^2}{2}$
c. Các bạn thấy khi $x \to 1$ thì giới hạn trên cũng có dạng $\frac{0}{0}$. Ta có:
$\lim \limits_{x\to 0}{\frac{x^3}{x-sinx}}$
$\lim \limits_{x\to 0}{\frac{(x^3)’}{(x-sinx)’}}$
$=\lim \limits_{x\to 0}{\frac{3x^2}{1-cosx}}$
$=\lim \limits_{x\to 0}{\frac{3x^2}{1-cosx}}$ (tới đây vẫn có dạng 0/0 nên áp dụng tiếp)
$=\lim \limits_{x\to 0}{\frac{6x}{sinx}}$ (tới đây vẫn có dạng 0/0 nên áp dụng tiếp)
$=\lim \limits_{x\to 0}{\frac{6}{cosx}}$
$=\frac{6}{1}=6$
Vậy : $\lim \limits_{x\to 0}{\frac{x^3}{x-sinx}}=6$
Bài tập 1 vừa rồi gồm toàn bộ là giới hạn vô định dạng lượng giác, bài tập 2 ngay sau đây thầy sẽ gửi tới các bạn bài tập giới hạn vô định dạng căn thức, giới hạn hàm số mũ, giới hạn hàm số lũy thừa và giới hạm của hàm logarit.
Bài tập 2: Tính các giới hạn sau:
a. $\lim \limits_{x\to a}{\frac{a^x-x^a}{x-a}}$ $\hspace{1cm}$ b. $\lim \limits_{x \to 0}{\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}}$ $\hspace{1cm}$ c. $\lim \limits_{x \to 4}{\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{5+x}-3}}$ $\hspace{1cm}$ d. $\lim \limits_{x \to 1}{\frac{lnx}{x^2-1}}$
Hướng dẫn giải:
a. Ta thấy ý (a) là trường hợp $\frac{0}{0}$, áp dụng quy tắc L’Hopital ta có:
$\lim \limits_{x\to a}{\frac{a^x-x^a}{x-a}}$
$=\lim \limits_{x\to a}{\frac{(a^x-x^a)’}{(x-a)’}}$
$=\lim \limits_{x\to a}{\frac{a^x.lna-a.x^{a-1}}{1}}$
$=a^a.lna-a.a^{a-1}$
$=a^a.lna-a.\frac{a^a}{a}$
$=a^a.lna-a^a$
Vậy $\lim \limits_{x\to a}{\frac{a^x-x^a}{x-a}}=a^a.lna-a^a$
b. Ta thấy ý (b) là trường hợp $\frac{0}{0}$, áp dụng quy tắc L’Hopital ta có:
$\lim \limits_{x \to 0}{\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}}$
$=\lim \limits_{x \to 0}{\frac{(\sqrt{1+x^2}-1)’}{x’}}$
$=\lim \limits_{x \to 0}{\frac{\frac{2x}{2.\sqrt{1+x^2}}}{1}}$
$=\lim \limits_{x \to 0}{\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}$
$=\frac{0}{\sqrt{1+0}}$
$=0$
Vậy $\lim \limits_{x \to 0}{\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}}=0$
c. Ta thấy ý (c) là trường hợp $\frac{0}{0}$, áp dụng quy tắc L’Hopital ta có:
$\lim \limits_{x \to 4}{\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{5+x}-3}}$
$=\lim \limits_{x \to 4}{\frac{(\sqrt{1+2x}-3)’}{(\sqrt{5+x}-3)’}}$
$=\lim \limits_{x \to 4}{\frac{\frac{2}{2.\sqrt{1+2x}}}{\frac{1}{2.\sqrt{5+x}}}}$
$=\lim \limits_{x \to 4}{\frac{2.\sqrt{5+x}}{\sqrt{1+2x}}}$
$=\frac{2\sqrt{9}}{\sqrt{9}}$
$=2$
Vậy $\lim \limits_{x \to 4}{\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{5+x}-3}}=2$
d. ý (d) này cũng thuộc giới hạn dạng $\frac{0}{0}$, nên áp dụng quy tắc L’Hopital ta có:
$\lim \limits_{x \to 1}{\frac{lnx}{x^2-1}}$
$=\lim \limits_{x \to 1}{\frac{(lnx)’}{(x^2-1)’}}$
$=\lim \limits_{x \to 1}{\frac{\frac{1}{x}}{2x}}$
$=\frac{1}{2}$
Vậy $\lim \limits_{x \to 1}{\frac{lnx}{x^2-1}}=\frac{1}{2}$
Qua hai bài tập trên hẳn các bạn đã rõ nhiều về cách tìm giới hạn dạng vô định bằng quy tắc LHopital. Thông thường hay áp dụng cho dạng bài tập tìm giới hạn hàm số dạng $\frac{0}{0}$ và $\frac{\infty}{\infty}$.
Nhưng nếu gặp bài toán dạng $0.\infty$ hay $\infty – \infty$ thì các bạn cứ việc chuyển nó về dạng vô định không trên không hoặc vô cùng trên vô cùng rồi áp dụng .L’Hopital. Hẹn gặp lại các bạn ở những bài viết tiếp theo.
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ
Cảm ơn thầy nhiều ạ, mong thầy có nhiều bài viết hay nhiều hơn nữa!!!
Rất hay và dễ hiểu thầy ạ, cảm ơn thầy
Thầy ơi cho em hỏi bài
M= lim căn bậc 4 8x +1 – 1/ căn
x->0
Bậc 5 10x+1-1 thầy giảng giúp em với ạ em xin cám ơn
Trên tử và dưới mẫu có cùng dạng:
Trên tử $t^4-1^4=(t-1)(t^3+t^2+t+1)$
Mẫu $t^5-1^5=(t-1)(t^4+t^3+t^2+t+1)$
Cả tử và mẫu đều có biểu thức dạng $t-1$
Em nhân liên hợp phần còn lại của tử và mẫu, khi đó tử và mẫu là:
Tủ $8x+1-1=8x$
Mẫu $10x+1-1=10x$
Tới đây ok rồi
HOặc em có thể đạo hàm tử/ đạo hàm mẫu
hay lắm ạ, rất cảm ơn thầy
thầy ơi cho e hỏi là quy tắc lopitan này có áp dụng cho phần tiền đề sup,inf được không ạ
thầy có thể giúp em bài này dk k ạ
tìm đạo hàm cấp cao của y= (2x + 1).e ^ (3x-1)
Dễ hiểu quá! Cảm ơn thầy nhiều lắm, web của thầy rất bổ ích, trình bày rất đẹp và dễ hiểu! Mong thầy có những bài giảng hay hơn nữa!
Cám ơn bạn. Chúc bạn học tập tốt
thầy ơi giải giúp e bài này đc k thầy…lim (log(x+h)+log(x-h)-2logx)/(h^2) với h->0 và x>0
log(x+h)+log(x-h)-2logx =log(x^2-h^2)-logx^2=log((x^2-h^2)/x^2)
h^2 = log(10^(h^2))
em thay vào tính tiếp
Th cho e hỏi cách chuyển từ dạng 0× vô cùng về dạng 0/0 như thế nào vậy th
em đưa 1 biểu thức xuống mẫu là chuyển thành 0/0 hoặc vocung/vocung ngay mà
thầy ơi cho em hỏi là
1, lim (x+e^2x)^ 1/x tính như nào vậy ạh? e k hiu lắm ạh.
x->0
2, xét tính hội tụ của: tích phân dx/(3cănx) trong khoảng (-8;-1) (lưu ý là -8 là trừ vô cùng ạ)
e phải làm như thế nào ạ?
bài 1em dùng ln nhé, sau đó áp dụng L’Hopital
bài 2 lâu không chạm tới nên không nhớ tính hội tụ nữa rồi
thầy ơi thầy giải giúp e 2|x+1|-5căn của x2-3 tất cả \2x+3
thầy là một lập trình viên à
Không em à, thầy là giáo viên tự do. Cũng có yêu thích chút công nghệ tin học,thầy xây dựng ra website này với mục đích chia sẻ kiến thức với những gì mình có.
Thầy giúp e bài này với ạ lim (x-2)^ cos pi trên x khi x->2
EM đặt $A=(x-2)^{cos\frac{\pi}{x}}$ =>$lnA=cos\frac{\pi}{x}.ln(x-2)$
chuyển ln(x-2) xuống mẫu để xuất hiện dạng 0/0 và áp dụng Hopital
thầy ơi có câu nào mà ta phải e mũ lên rồi mới tính ko ạ. em gặp bài như vậy
NHiều bài phải logarrit nepe hay mũ hóa
Thầy giúp em bài này với ạ. Lim x/(1+e^1/x) khi x —>0+
NHỜ THẦY GIÚP E BÀI NÀY E CẢM ƠN Ạ
C/m với mọi số thực m>=n>=1/2 thì pt
(m^2 – n^2 – m + căn(n^2-6n+10) + 3)*x^2017 + 5x^2 – 45 =0
thầy ơi cho em hỏi bài lim(7* căn bậc hai(2-x) – 1)/(x – 1) khi x->1
giới hạn này em tính bình thường nhé. không phải dạng vô định
Thầy dạy em cách tính giới hạn khi tiến tới vô cùng với ạ làm sao biết được khi nào ra hằng khi nào ra vô cùng ạ.
Em thử tìm hiểu thêm 2 bài giảng này xem nhé:
1. https://hoctoan24h.net/gioi-han-ham-so-dang-vo-cung-tren-vo-cung/
2. https://hoctoan24h.net/gioi-han-ham-so-dang-khong-tren-khong-00/
Thầy dạy em cách tính giới hạn khi tiến tới vô cùng với ạ.
Lim ( x -0+) (sinX.arccos1/X)/(ln(1-2×2))
Dạng vô định 0/0.
Cám ơn thầy
Lim ( x -0+) (sinX.arccos(1/X))/(ln(1-2×2))
Dạng vô định 0/0.
Cám ơn thầy
Em cám ơn thầy nhiều ạ <3 Mong thầy sẽ tiếp tục giữ lửa và truyền lửa cho những lớp học trò tiếp theo ạ <3 Chúng em sẽ luôn luôn ủng hộ thầy <3
thầy tính cho em bài náy cái :lim cúa (2^(2x^2-x) trừ cho căn bậc 4 của 3x+1.tất cả trên ln căn (3x+4)-1
Lim(x-0) 2tanx-tan2x/x(1-cos3x)
lời giải của thầy dễ hiểu lắm ạ
rất hay và dễ hiểu
dạng 0 mũ vô cùng thì phương pháp giải ntn vậy thưa thầy?
bài 2c kết luận sai rùi thầy ơi
cám ơn em nhiều
Thầy giúp e bài này với ạ: lim sinx.lnx khi x->0
Cảm ơn thầy ạ, rất bổ ích