Tìm m để hàm phân thức đồng biến trên khoảng cho trước

Hôm nay đọc mail thấy một bạn học sinh hỏi về dạng toán tìm điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng cho trước. Dạng toán này trên blog chưa có bài viết nào, cộng với việc gần nửa tháng nay chưa viết được bài nào nên quyết định chuyển bài tập của bạn thành một bài giảng. Để nếu có bạn nào hỏi về dạng này thì khỏi phải tìm đâu xa nữa. Cứ gõ từ khóa Tìm m để hàm phân thức đồng biến trên khoảng là bụt sẽ hiện lên ngay.

Đối với dạng toán tìm m để hàm số đồng biến hay nghịch biến trên khoảng hay đoạn thì chúng ta nên sử dụng phương pháp hàm số, tức là dựa vào việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số để tìm điều kiện cho m. Nhưng dạng này chỉ áp dụng được với bài toán cô lập được m. Với những bài toán không cô lập được m thì chúng ta áp dụng phương pháp tổng quát, có thể dùng cho mọi bài toán, đó là áp dụng xét dấu và nghiệm của tam thức bậc 2.

Trong bài giảng này thầy sẽ gửi tới các bạn bài toán Tìm m để hàm phân thức đồng biến trên khoảng cho trước và áp dụng phương pháp xét dấu của tam thức bậc 2.

Xem thêm bài giảng hay:

1. Tìm m để hàm bậc 4 đồng biến, nghịch biến trên khoảng cho trước
2. Một số mẹo phân tích đồ thị hàm bậc 3 để giải toán
3. Sai lầm nghiêm trọng khi tìm cực trị của hàm số
4. Sai lầm khi viết phương trình tiếp tuyến

Bài tập 1: Tìm m để hàm số $y=\frac{2x^2+(m+1)x+2m-1}{x+1}$ đồng biến trên khoảng $(0;+\infty)$

A. $m\leq 2$              B. $m<2$                      C. $m\leq \frac{1}{2}$                 D. $m>\frac{1}{2}$

Hướng dẫn:

TXĐ: $D=R\{-1}$

$y’=\frac{2x^2+4x-m+2}{(x+1)^2}$

Hàm số đồng biến trên khoảng $(0;+\infty)$ khi $y’\geq 0$ với $x\in (0;+\infty)$

Ta có: $2x^2+4x-m+2\geq 0$ với $x\in (0;+\infty)$

$\Leftrightarrow m\leq 2x^2+4x+2$  => Tìm min

Đặt $h(x)=2x^2+4x+2$; $h'(x)=4x+4=0$ => $x=-1 \notin(0;+\infty)$

=> $m\leq 2$

Vậy đáp án A đúng.

Bài tập 2: Cho hàm số $y=\frac{x^2+2mx+m}{x-m}$. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng $(1;+\infty)$.

Hướng dẫn:

Tập xác định: $D=R\{m}$

Đạo hàm: $y’=\frac{x^2-2mx-2m^2-m}{(x-m)^2}$

Hàm số đồng biến trên khoảng $(1;+\infty)$ khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{ll}y’\geq 0\hspace{0.5cm}\forall x\in (1;+\infty)\\ m\not\in(1;+\infty)\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}y’\geq 0\hspace{0.5cm}\forall x\in (1;+\infty)\\m\leq1\end{array}\right.$

Hay $\left\{\begin{array}{ll}x^2-2mx-2m^2-m \geq 0\hspace{0.5cm}\forall x\in (1;+\infty)\hspace{1cm}\\m\leq 1\end{array}\right.$

Để biết được tại sao $m\leq 1$ thì các bạn cứ đọc tiếp nhé.

Ta có: $\Delta’ = m^2+2m^2+m = 3m^2+m$

Tới đây các bạn thấy tam thức bậc 2 của chúng ta có chứa tham số m với số mũ 2 và mũ 1 nên chắc chắn là không thể cô lập được m. Vì vậy việc áp dụng phương pháp cô lập m để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là không khả thi. Do đó chúng ta sẽ sử dụng phương pháp xét dấu của tam thức bậc 2.

Chý ý:

Với bài toán dạng như thế này ta sẽ phải biện luận theo 2 trường hợp.

Trường hợp 1: Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định,

Trường hợp 2: Điều kiện hàm số đồng biến trên khoảng $(1;+\infty)$

Tuy nhiên đây là bài toán dạng phân thức trong đó mẫu thức lại chứa tham số m. Vì vậy ta cần điều kiện cho tham số m ở dưới mẫu. Tức là $\\m \not \in (1;+\infty) $. Nếu bạn nào chưa rõ chỗ này thì có thể xem bài giảng này của thầy.

Giờ chúng ta cùng đi xét hai trường hợp cho bài toán này:

Trường hợp 1: Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác đinh thì $\left\{\begin{array}{ll}a>0\\ \Delta’ \leq 0\\ m \not \in (1;+\infty) \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}1>0\\ 3m^2+m \leq 0\\ m\leq 1\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}3m^2+m \leq 0\\ m\leq 1\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}-\frac{1}{3} \leq m\leq 0\\ m\leq 1\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow -\frac{1}{3}\leq m\leq 0$

Vậy với $\Leftrightarrow -\frac{1}{3}\leq m\leq 0$ thì hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Do đó hàm số sẽ đồng biến trên khoảng $(1;+\infty)$

Các bạn xem thêm bảng biến thiên:

Trường hợp 2: Hàm số đồng biến trên khoảng $(1;+\infty)$

Trường hợp 1 chúng ta xét với $\Delta’\leq 0$. Với trường hợp 2 này chúng ta sẽ xét với $\Delta’>0$

$\Delta’>0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}m<-\frac{1}{3}\\m>0\end{array}\right.$

Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2$ với $x_1<x_2$.

Bảng biến thiên:

Để hàm số đồng biến trên khoảng $(1;+\infty)$ thì $x_1<x_2\leq 1$. Từ đây ta có: $x_1-1< x_2-1\leq 0 \Rightarrow \left\{\begin{array}{ll}(x_1-1)(x_2-1)\geq 0\\x_1-1+x_2-1<0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{ll}x_1.x_2-(x_1+x_2)+1\geq 0\\x_1+x_2<2\end{array}\right.$   (2)

Theo Viet ta có: $x_1.x_2=-2m^2-m$ và $x_1+x_2=2m$

(2) $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}-2m^2-m-2m+1\geq 0\\2m<2\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}-2m^2-3m+1\geq 0\\m<1\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \frac{3+\sqrt{17}}{-4}\leq m\leq \frac{3-\sqrt{17}}{-4}$

Kết hợp với điều kiện của $\Delta’>0$ ta có: $\frac{3+\sqrt{17}}{-4}\leq m< -\frac{1}{3}$ hoặc $0< m\leq\frac{3-\sqrt{17}}{-4}$

Vậy với $\frac{3+\sqrt{17}}{-4}\leq m< -\frac{1}{3}$ hoặc $0< m\leq\frac{3-\sqrt{17}}{-4}$ thì hàm số đồng biến trên khoảng $(1;+\infty)$

Kết hợp cả hai trường hợp lại ta có kết quả như sau: $\frac{3+\sqrt{17}}{-4}\leq m\leq \frac{3-\sqrt{17}}{-4}$

Kết luận: Với $\frac{3+\sqrt{17}}{-4}\leq m\leq \frac{3-\sqrt{17}}{-4}$ thì hàm số đồng biến trên khoảng $(1;+\infty)$