Tìm phép tịnh tiến đồ thị hàm số trong hệ tọa độ oxy

Tìm phép tịnh tiến đồ thị hàm số trong hệ tọa độ oxy là bài toán phức tạp trong bài toán tịnh tiến đồ thị. Đối với những bài toán tịnh tiến đồ thị lên trên hay xuống dưới q đơn vị, tịnh tiến sang trái hay sang phải p đơn vị thì có định lý và cách làm cụ thể rồi, nên chúng không có gì phức tạp. Trong bài giảng hôm nay thầy hướng dẫn các bạn cách đi tìm một phép tịnh tiến biến đồ thị này thành đồ thị kia trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

Trước khi vào bài toán dạng này thầy sẽ đưa ra một ví dụ về dạng toán khác để chúng ta có cái nhìn tổng quát hơn, cụ thể hơn cho bài toán đang xét.

Tìm đồ thị hàm số khi biết trước phép tịnh tiến

Bài toán 1: Cho hàm số $y=2x-1$ có đồ thị là đường thẳng d. Hãy xác định đồ thị của hàm số trên khi tịnh tiến d sang phải 3 đơn vị.

Đặt $f(x)=2x-1$. Theo định lý về tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ, khi tịnh tiến $d$ sang phải 3 đơn vị ta sẽ được đồ thị $d1$, đó là đồ thị của hàm số:

$y=f(x-3)=2(x-3)-1=2x-7$

Như vậy đồ thị hàm số mới là $y=2x-7$.

Một câu hỏi đặt ra ở đây là: Nếu bài toán cho đồ thị hàm số $d: y=2x-1$ và đồ thị hàm số $d1: y=2x-7$ thì chúng ta phải xác định được một pháp tịnh tiến nào đó biến $d$ thành $d1$. Tức là phải tìm ra được phép tịnh tiến đồ thị sang phải 3 đơn vị như bài toán trên.

Công việc này đòi hỏi phức tạp hơn nhiều so với bài toán trên rồi. Vậy có cách nào để tìm được phép tịnh tiến đó không? Chắc chắn là phải có chứ.

Tìm phép tịnh tiến đồ thị hàm số

Bài toán 2: Cho hàm số $y=2x-1$ có đồ thị là đường thẳng $d$ và hàm số $y=2x-7$ có đồ thị là đường thẳng $d1$. Tìm phép tịnh tiến biến $d$ thành $d1$.

Nhìn vào 2 hàm số trên thì chúng ta thấy để tìm được phép tịnh tiến là điều không khó khăn, bởi đây là 2 hàm đơn giản. Chúng là hàm số bậc nhất nên việc nhận dạng và nhìn ra kết quả là rất nhanh chóng.

Đặt $f(x) = 2x-1$

Ta có: $y=2x – 7 = 2x – 6 – 1 = 2(x-3) – 1 = f(x-3)$.

Vậy phép tịnh tiến cần tìm ở đây chính là ta đã tịnh tiến $d$ sang phải $3$ đơn vị để được $d1$.

Vấn đề ở đây khi biến đổi các bạn phải luôn bám sát vào dạng của $d$. Hàm số ban đầu cho là $y=2x-1$, do đó khi biến đổi đồ thị $d1$ ta phải đưa $d1$ về dạng: $y=2X-1$ với $X$ là một biểu thức nào đó. Trong bài toán này thì $X=x-3$.

Chắc chắn là các bạn vẫn muốn đi tiếp một số ví dụ khác để hiểu rõ hơn phải không, ví dụ trên đơn giản quá. Vậy chúng ta sẽ tiếp tục với bài toán nữa về hàm số bậc 2 nhé.

Bài toán 3: Cho hàm số $y=x^2-2x+4$ có đồ thị $(P1)$ và hàm số $y=x^2-6x+12$ có đồ thị $(P2)$. Hãy tìm một phép tịnh tiến biến đồ thị $(P1)$ thành đồ thị $(P2)$.

Nhìn qua thì thấy sướng hơn bài toán 2 rồi bởi độ phức tạp của nó được tăng lên, não được hoạt động nhiều hơn, dẫn tới hệ thần kinh được kích thích và hưng phấn. Các bạn có ý tưởng gì cho bài toán này chưa?

Vẫn như trong bài toán 2 nhé, ở đây chúng ta phải biến đổi $(P2)$ về cái dạng: $y=X^2-2X+4$ với $X$ cũng là một biểu thức nào đó. Vậy $X$ là cái gì, các bạn theo dõi nhé:

Đặt $f(x)=x^2-2x+4$

Biến đổi:

$y=x^2-6x+12$

$ = x^2 – 2x -4x +4 $

$=x^2-4x-2x+4$

$=(x^2-4x+4)-4-2x+4$

$ = (x-2)^2-2(x-2) +4$

$=f(x-2)$.

Vậy phép tịnh tiến cần tìm ở đây chính là ta đã tịnh tiến đồ thị sang phải 2 đơn vị.

Cơ sở nào cho ta tách được như vây? Như đã nói ở trên chúng ta phải luôn bám vào dạng của nó là $y=X^2-2X+4$. Như vậy các bạn cần tách cái thằng chứa ẩn bậc nhất trước, tức là $-6x$ để làm xuất hiện $-2x$, thừa bao nhiêu đem nhóm với thằng chứa ẩn bậc 2 là $x^2$. Tiếp là biến đổi làm xuất hiện dạng bình phương 1 tổng hay 1 hiệu.

Vấn đề khá rõ ràng rồi nhé, giờ các bạn thử sức luôn với một vài bài toán nhé:

• Cho hàm số $y=x^2+3x-8$ có đồ thị $(P1)$ và hàm số $y=x^2+11x+20$ có đồ thị $(P2)$. Tìm phép tịnh tiến đồ thị biến $(P1)$ thành $(P2)$.
• Cho hàm số $y=x^2-10x+5$ có đồ thị $(P1)$ và hàm số $y=x^2-8x-4$ có đồ thị $(P2)$. Tìm phép tịnh tiến đồ thị biến $(P1)$ thành $(P2)$.

Với 3 bài toán trên các bạn thấy đó, tất cả đều là tịnh tiến sang phải hay sang trái p đơn vị. Vậy còn bài toán tịnh tiến đồ thị lên trên hay xuống dưới q đơn vị thì sao? Hoặc cùng lúc sử dụng 2 phép tịnh tiến thì sẽ thế nào? Có làm phương pháp như trên được không hay phải làm cách nào đó, chúng ta cùng tìm hiểu bài toán tiếp theo nhé.

Bài toán 4:  Cho hàm số $y=x^2-10x+5$ có đồ thị $(P1) $ và hàm số $y=x^2-8x-1$ có đồ thị $(P2)$. Tìm phép tịnh tiến đồ thị biến $(P1)$ thành $(P2)$.

Trông bài toán này có vẻ giống với bài toán mà thầy vừa cho các bạn tự làm ở phía trên quá nhỉ. Đúng rồi, thầy chỉ thay cái thằng hệ số c từ -4 thành -1 thôi. Chỉ với 1 chút thay đổi thôi nhưng chúng ta có hẳn 1 bài toán khác đầy đủ và hay hơn rất nhiều rồi đó. Bắt tay vào biến đổi thôi, phương pháp tương tự như mấy bài toán trên nhé (chú ý tách cái thằng $-8x$ trước nhé).

Đặt $f(x)=x^2-10x+5$

Ta có:

$y=x^2-8x-1$

$=x^2+2x-10x-1$

$=x^2+2x+1-1-10x-1$

$=(x+1)^2-1-10(x+1)+10-1$

$=(x+1)^2-10(x+1)+8$

$=(x+1)^2-10(x+1)+5+3$

$=[(x+1)^2-10(x+1)+5]+3$

$=f(x+1)+3$

Xong rồi đó các bạn. Nhìn vào kết quả các bạn thấy có khác với 3 bài toán trên chưa? Nó xuất hiện thêm số $3$ ở đuôi.

Ở đây chúng ta đã sử dụng 2 phép tịnh tiến để biến $(P1)$ thành $(P2)$:

• Phép tịnh tiến 1: Tịnh tiến sang trái 1 đơn vị.
• Phép tịnh tiến 2: Tịnh tiến lên trên 3 đơn vị.

Kết luận: Để biến $(P1)$ thành $(P2)$ thì chúng ta phải tịnh tiến $(P1)$ sang trái 1 đơn vị, sau đó tịnh tiến tiếp đồ thị lên trên 3 đơn vị.

Lời kết

Các bạn hẳn đã rõ cách tìm phép tịnh tiến đồ thị hàm số trong hệ tọa độ oxy rồi chứ. Đây là dạng toán tìm phép tịnh tiến biến đô thị này thành đồ thị khác. Thầy hy vọng với chút kiến thức chia sẻ này sẽ giúp các bạn hiểu rõ hơn phương pháp tìm một phép tịnh tiến đồ thị hàm số. Nếu có thắc mắc hay ý kiến thảo luận xin vui lòng gõ vào khung bình luận phía dưới. Thầy và các bạn sẽ giúp đỡ.

Bài tập tự luyện:

Bài tâp 1: 

Bài tập 2:

Bài tập 3: