Tìm phương trình đường tròn bằng phép đối xứng tâm

Bạn có muốn xem: Tìm phương trình đường tròn bằng phép tịnh tiến

Trong chuyên đề về phép đối xứng tâm thầy đã cố gắng tách thành từng dạng toán, với mỗi dạng thầy viết trong một bài giảng với mục đích giúp các bạn dễ nghiên cứu trong quá trình học tập. Trong bài giảng hôm nay thầy gửi tới chúng ta dạng toán: Tìm phương trình đường tròn bằng phép đối xứng tâm. 

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(1;2) và đường tròn (C) có phương trình $x^2+y^2+2x-6y+6=0$. Xác định phương trình đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm M.

Hướng dẫn giải

Tương tự như những bài giảng trước, đối với dạng toán tìm phương trình đường tròn bằng phép đối xứng tâm thầy cũng sẽ hướng dẫn chúng ta giải theo một số cách: Theo biểu thức tọa độ, theo tính chất…

Cách 1: Xác định phương trình đường tròn theo tính chất

Đường tròn (C) có tâm I(-1;3) và bán kính r=2

Phép đối xứng tâm biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. Do đó đường tròn (C’) sẽ có bán kính r’=r=2

 Công việc chúng ta phải làm là tìm tâm I’ của đường tròn (C’)

Gọi I'(x’;y’) là ảnh của tâm I qua phép đối xứng tâm M, nên ta có:

$\left\{\begin{array}{ll}x’=2x_0-x\\y’=2y_0-y\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x’=2.1-(-1)\\y’=2.2-3\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x’=3\\y’=1\end{array}\right.$

Vậy tọa độ của tâm I’ là: I'(3;1)

Phương trình đường tròn (C’) cần tìm là: $(x-3)^2+(y-1)^2=4$

Cách 2: Xác định phương trình đường tròn bằng biểu thức tọa độ

Gọi A(x;y) là điểm bất kì thuộc đường tròn (C) và A'(x’;y’) là ảnh của điểm A qua phép đối xứng tâm M. Khi đó A’ sẽ thuộc đường tròn (C’).

Theo biểu thức tọa độ ta có:

$\left\{\begin{array}{ll}x’=2x_0-x\\y’=2y_0-y\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x’=2.1-x\\y’=2.2-y\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x=2-x’\\y=4-y’\end{array}\right.$

Thay x; y trong biểu thức trên vào phương trình đường tròn (C) ta được:

$(2-x’)^2+(4-y’)^2+2(2-x’)-6(4-y’)+6=0$

$\Leftrightarrow 4-4x’+x’^2+16-8y’+y’^2+4-2x’-24+6y’+6=0$

$\Leftrightarrow x’^2+y’^2-6x’-2y’+6=0$

$\Leftrightarrow (x-3)^2+(y-1)^2=4$

Vậy phương trình đường tròn (C’) cần tìm là: $(x-3)^2+(y-1)^2=4$

Qua lời giải trên nếu các bạn thấy bài toán yêu cầu tìm phương trình đường tròn bằng phép đối xứng tâm O hay gốc tọa độ thì bài toán rơi vào trường hợp đặc biệt rồi. Điểm M(1;2) lúc này sẽ được thay bằng điểm O(0;0).

Bài 2: Cho đường tròn (C) có phương trình: $(x-2)^2+(y-1)^2=4$ và đường tròn (C’) có phương trình $x^2+y^2-4x+6y+9=0$. Tìm tâm đối xứng biết đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm A.

Hướng dẫn giải

Gọi tọa độ của điểm A là: $A(x_0;y_0)$

Đường tròn (C) có tâm là I(2;1) và bán kính r=2

Đường tròn (C) có tâm là I'(2;-3) và bán kính r=2

Vì đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm A nên ta có điểm I’ là ảnh của điểm I qua phép đối xứng tâm A. Theo biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm ta có:

$\left\{\begin{array}{ll}2=2x_0-2\\-3=2y_0-1\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}2x_0=4\\2y_0=-2\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x_0=2\\y_0=-1\end{array}\right.$

Vậy tọa độ của tâm đối xứng A là: A(2;-1)

Như vậy chúng ta vừa cùng nhau phân tích và tìm lời giải cho hai bài toán được gắn vào hai dạng toán là:

• Tìm phương trình đường tròn ảnh
• Tìm tâm đối xứng khi biết đường tròn tạo ảnh và đường tròn ảnh
• Còn dạng thứ 3 là: Tìm phương trình đường tròn tạo ảnh thì thầy không giới thiệu trong bài giảng này, tuy nhiên cách làm tương như bài 1.

Thầy xin dừng bài giảng này tại đây, hẹn gặp lại các bạn trong chuyên đề mới.