Tìm tâm vị tự của hai đường tròn

Để tìm được tâm vị tự của hai đường tròn thì chúng ta cùng tìm hiểu định lí và một số trường hợp có thể sảy ra sau đây.

Định lí: Với hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Tâm của phép vị tự nói trên là tâm vị tự của hai đường tròn.

Cho hai đường tròn $(I;R)$ và $(I’;R’)$. Có 3 trường hợp sảy ra:

  • Nếu I trùng với I’ thì phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k=\dfrac{R’}{R}$ và phép vị tự tâm $I$ tỉ số $-\dfrac{R’}{R}$ biến đường tròn $(I;R)$ thành đường tròn $(I;R’)$

Nếu $I \neq I’$ và $R\neq R’$ thì có phép vị tự tâm $O_1$ tỉ số $k_1=\dfrac{R’}{R}$ và phép vị tự tâm $O_2$ tỉ số $k_2=-\dfrac{R’}{R}$. Ta gọi $O_1$ là tâm vị tự ngoài còn $O_2$ là tâm vị tự trong của hai đường tròn nói trên.

  • Nếu $I \neq I’$ và $R= R’$ thì phép vị tự tâm $O_1$ tỉ số $k_1=-\dfrac{R}{R}=-1$ biến đường tròn $(I;R)$ thành đường tròn $(I’;R’)$. Đó chính là phép đối xứng tâm $O_1$

Xem thêm bài giảng:

Bài tập tìm tâm vị tự của hai đường tròn

Bài tập 1: Cho đường tròn (C) có phương trình: $(x-2)^2+(y+3)^2=9$ và đường tròn (C’) có phương trình: $x^2+y^2-2x-8y+1=0$. Tìm tọa độ tâm vị tự biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’) biết tỉ số vị tự bằng 2.

Hướng dẫn:

Đường tròn (C) có tâm là $A(2;-3)$, bán kính $R=3$

Đường tròn (C’) có tâm là $A'(1;4)$, bán kính $R’=\sqrt{1^2+4^2-1}=4$

Hai đường tròn (C) và (C’) có tâm không trùng nhau, bán kính khác nhau. Do đó tồn tại hai phép vị tự tâm I1 tỉ số k=2 và tâm vị tự tâm I2 tỉ số k=-2 biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’).

Trường hợp 1: Xét $k=2$

Gọi $I_1(x;y)$ là tâm vị tự, ta có:

$\vec{IA}=(2-x;-3-y)$; $\vec{IA’}=(1-x;4-y)$

Ta có: $\vec{IA’}=2\vec{IA}$

<=> $(1-x;4-y)=2(2-x;-3-y)$

<=> $(1-x;4-y)=(4-2x;-6-2y)$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}1-x=4-2x\\4-y=-6-2y\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x=3\\y=-10\end{array}\right.$

<=> $I_1(3;-10)$

Do đó với $k=2$ ta có một tâm vị tự ngoài là $I_1=(3;-10)$

Trường hợp 2: Xét $k=-2$

Gọi $I_2(x;y)$ là tâm vị tự, ta có:

$\vec{IA}=(2-x;-3-y)$; $\vec{IA’}=(1-x;4-y)$

Ta có: $\vec{IA’}=-2\vec{IA}$

<=> $(1-x;4-y)=-2(2-x;-3-y)$

<=> $(1-x;4-y)=(-4+2x;6+2y)$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}1-x=-4+2x\\4-y=6+2y\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x=\dfrac{5}{3}\\y=-\dfrac{2}{3}\end{array}\right.$

<=> $I_2( \dfrac{5}{3}; -\dfrac{2}{3} )$

Do đó với $k=-2$ ta có một tâm vị tự trong là $I_2( \dfrac{5}{3}; -\dfrac{2}{3} )$

Kết luận: Có hai tâm vị tự là tâm vị tự ngoài $I_1=(3;-10)$ và tâm vị tự trong $I_2( \dfrac{5}{3}; -\dfrac{2}{3})$ biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’).

Chia sẻ lên mạng xã hội:

HOCTOAN24H

Cám ơn các bạn đã ghé thăm blog của mình. Hãy tặng HOCTOAN24H.NET 1 like + 1 lời động viên nếu thấy bài viết có ích với bạn. Chia sẻ với mục đích: "Cho đi là nhận"

Có thể bạn sẽ thích...

Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn!

Leave a Reply

You have to agree to the comment policy.

error: Xin lỗi đã làm phiền bạn !!