Tìm tọa độ 3 đỉnh biết tọa độ chân đường cao của tam giác

Bài tập: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có cả 3 góc đều nhọn. Tìm tọa độ 3 đỉnh A, B, C của tam giác biết tọa độ chân đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C tương ứng là A'(-1;-2), B'(2;2), C'(-1;2)

Phân tích bài toán:

Bài toán trên yêu cầu tìm tọa độ 3 đỉnh biết tọa độ chân đường cao của tam giác

1. Để tìm được tọa độ 3 đỉnh của tam giác ABC khi biết tọa độ của 3 chân đường cao trong tam giác chúng ta sẽ phân tích bài toán theo hướng sau:

A là giao điểm của hai đường thẳng AA’ và AC

B là giao điểm của hai đường thẳng BB’ và BC

C là giao điểm của hai đường thẳng AC và BC

2. Chúng ta cần đi tìm phương trình đường thẳng AA’, AC, BB’, BC

3. Các bạn cần chứng minh 3 đường cao AA’, BB’, CC’ của tam giác ABC là 3 đường phân giác của tam giác A’B’C’. Sau đó viết phương trình đường phân giác (cái này thì dễ ồi).

Chú ý: Một góc có hai đường phân giác trong và phân giác ngoài. Nếu AA’ là phân giác trong của góc $\widehat{B’A’C’}$ thì BC chính là phân giác ngoài của góc $\widehat{B’A’C’}$. Vì sao lại như vây?

Các bạn chú ý tới tính chất hai đường phân giác của một góc: Đường phân giác ngoài và phân giác trong của một góc thì luôn vuông góc với nhau.(Các bạn rõ lý do rồi chứ). Còn làm thế nào để biết được đâu là phương trình đường phân giác trong, đâu là phương trình đường phân giác ngoài thì các bạn theo dõi trong lời giải bên dưới.

4. Để chứng minh là đường phân giác các bạn đi chứng minh 2 góc bằng nhau, dựa vào tứ giác nội tiếp đường tròn (2 góc cùng nhìn 1 cạnh thì bằng nhau)

Vậy là tới đây các bạn đã rõ hướng làm bài toán này rồi.

Trình bày lời giải:

1. Chứng minh AA’ và BB’  là đường phân giác của $\widehat{B’A’C’}$ và $\widehat{A’B’C’}$

Tứ giác A’HB’C  nội tiếp (vì 2 góc vuông A’ và B’ cùng nhìn cạnh HC) => $\hat{A’_2}=\hat{C_1}$ (cùng nhìn cạnh HB’)          (1)

Tứ giác A’C’AC nội tiếp (vì 2 góc vuông A’ và C’ cùng nhìn cạnh AC) => $\hat{A’_1}=\hat{C_1}$ (cùng nhìn cạnh AC’)               (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\hat{A’_1}=\hat{A’_2}$ => $AA’$ là phân giác của $\widehat{B’A’C’}$

Vì Tứ giác A’HB’C  nội tiếp  => $\hat{B’_2}=\hat{C_2}$ (cùng nhìn cạnh HA’)                 (3)

Tứ giác BC’B’C nội tiếp (vì 2 góc vuông B’ và C’ cùng nhìn cạnh BC) => $\hat{B’_1}=\hat{C_2}$ (cùng nhìn cạnh BC’)               (4)

Từ (3) và (4) ta có: $\hat{B’_1}=\hat{B’_2}$ => $BB’$ là phân giác của $\widehat{A’B’C’}$

2. Viết phương trình 3 cạnh A’B’; B’C’ và A’C’

Ta có: $\vec{A’B’}(3;4)$; $\vec{A’C’}(0;4)$; $\vec{B’C’}(-3;0)$

Phương trình đường thẳng A’B’ là: 4x-3y-2=0

Phương trình đường thẳng A’C’ là: x+1=0

Phương trình đường thẳng B’C’ là: y-2=0

3. Viết phương trình đường phân giác AA’ và BB’

Gọi H(x;y), vì H thuộc đường phân giác của góc$\widehat{B’A’C’}$ nên ta có khoảng cách từ H tới hai cạnh của góc sẽ bằng nhau.

a. Đường phân giác trong AA’ và phân giác ngoài BC

Ta có: $d_{(H,A’B’)} = d_{(H,A’C’)}$

$\Leftrightarrow \frac{|4x-3y-2|}{5} = |x+1|\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll}4x-3y-2 = 5x+5\\4x-3y+2=-5x-5\end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll}x+3y+7 =0\\3x-y+1=0\end{array}\right.$

Để biết được phương trình đường thẳng nào là phân giác trong và phân giác ngoài các bạn làm như sau:

Thay tọa độ của hai điểm B’ và C’ vào cùng một phương trình đường thẳng, xét tích của chúng.

Nếu tích âm thì là phân giác trong (2 điểm đó nằm về 2 phía của đường thẳng), nếu tích dương thì là phân giác ngoài (2 điểm đó nằm cùng phía với đường thẳng)

Xét phương trình: 3x-y+1=0 ta có:

$[3.2-2+1][3(-1)-2+1] = -20 <0$

Vậy đường phân giác trong AA’ có phương trình là:3x-y+1=0

Đường phân giác ngoài là BC có phương trình là: x+3y+7=0

Bạn muốn xem: Phương pháp viết phương trình đường phân giác hay dùng

b. Đường phân giác trong BB’ và phân giác ngoài AC

Ta có: $d_{(H,A’B’)} = d_{(H,B’C’)}$

$\Leftrightarrow \frac{|4x-3y-2|}{5} = |y-2|\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll}4x-3y-2 = 5y-10\\4x-3y+2=-5y+10\end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll}x-2y+2=0\\2x+y-6=0\end{array}\right.$

Vậy đường phân giác trong BB’ có phương trình là:x-2y+2=0

Đường phân giác ngoài là AC có phương trình là: 2x+y-6=0

4. Tìm tọa độ 3 đỉnh A, B và C của tam giác ABC

a. Tìm tọa độ đỉnh C

Điểm C là giao điểm của hai đường thẳng AC và BC nên tọa độ của C là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{ll}x+3y+7=0\\2x+y-6=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x=-5\\y=16\end{array}\right.$.              Vậy C(-5;16)

b. Tìm tọa độ đỉnh B

Đỉnh B  là giao điểm của hai đường thẳng BC và BB’ nên tọa độ của B là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{ll}x+3y+7=0\\x-2y+2=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x=-4\\y=-1\end{array}\right.$.               Vậy B(-4;-1)

c. Tìm tọa độ đỉnh A

Đỉnh A là giao điểm của hai đường thẳng AC và AA’ nên tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{ll}3x-y+1=0\\2x+y-6=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x=1\\y=4\end{array}\right.$.                 Vậy A(1;4)

5. Lời kết

Bài toán trên là một bài toán khó mà hay, nó đòi hỏi nhiều kiến thức và tư duy logic để tìm ra hướng giải. Trong bài toán trên có thể chúng ta sẽ đi tìm phương trình 2 đường phân giác, sau đó tìm ra tọa độ điểm H là giao của hai đường phân giác (nếu không nhớ tính chất của đường phân giác ngoài). Từ đó các bạn cũng sẽ viết được phương trình các cạnh của tam giác và tìm ra tọa độ 3 đỉnh.

Việc tìm tọa độ 3 đỉnh  biết tọa độ chân đường cao của tam giác có thể trở thành bài toán viết phương trình 3 cạnh của tam giác khi biết tọa độ chân các đường cao. Các bạn có thể tham gia thảo luận thêm về bài toán này trong hộp bình luận phía dưới nhé.