Tìm tọa độ điểm bằng phép tịnh tiến

Phép tịnh tiến là một phép biến hình được ứng dụng rất nhiều trong toán học và trong các ngành khoa học khác. Trong bài giảng hôm nay thầy sẽ hướng dẫn chúng ta làm dạng toán tìm tọa độ điểm bằng phép tịnh tiến. Trước khi vào bài tập dạng này chúng ta cùng xem lại lý thuyết và một số tính chất của phép tịnh tiến để áp dụng.

Tham khảo bài giảng:

• Tổng hợp lý thuyết và bài tập các phép biến hình
• Tìm phương trình đường tròn bằng phép tịnh tiến
• Tìm tọa độ điểm bằng phép đối xứng tâm

1. Định nghĩa phép tịnh tiến

Trong mặt phẳng cho vectơ $\vec{v}$. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho $\vec{MM’}=\vec{v}$ được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{v}$

Phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{v}$ được kí hiệu là: $T_{\vec{v}}$, $\vec{v}$ được gọi là vectơ tịnh tiến.

Như vậy: $T_{\vec{v}}(M) = M’ \Leftrightarrow \vec{MM’} =\vec{v}$

Phép tịnh tiến theo vectơ – không chính là phép đồng nhất.

2. Tính chất của phép tịnh tiến

a. Tính chất 1: Nếu $T_{\vec{v}}(M) = M’$, $T_{\vec{v}}(N) = N’$ thì $\vec{M’N’}=\vec{MN}$ và từ đó suy ra M’N’=MN.

b. Tính chất 2: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

3. Biểu thức tọa độ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ $\vec{v}=(a;b)$. Với mỗi điểm M(x;y) ta có M'(x’;y’) là ảnh của M’ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{v}$.

Khi đó $\vec{MM’} = \vec{v} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x’-x=a\\y’-y=b\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x’=x+a\\y’=y+b\end{array}\right.$

Đó là một số khái niệm và tính chất của phép tịnh tiến chúng ta cần nắm được để có thể giải được bài tập. Ngay sau đây thầy sẽ hướng dẫn chúng ta làm một số bài tập tìm tọa độ điểm bằng phép tịnh tiến và tìm phương trình đường thẳng cũng bằng phép tịnh tiến.

4. Bài tập tìm tọa độ điểm bằng phép tịnh tiến

Bài 1: trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ $\vec{v}=(-1;2)$, hai điểm A(3;5) và B(-1;1) và đường thẳng d có phương trình: $x-2y+3=0$.

a. Tìm tọa độ của các điểm A’; B’ theo thứ tự là ảnh của A; B qua phép tịnh tiến theo $\vec{v}$

b. Tìm tọa độ của điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo $\vec{v}$

c. Tìm phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo $\vec{v}$

Hướng dẫn giải:

Trong bài tập này vectơ tịnh tiến chính là vectơ $\vec{v}=(-1;2)$. Do đó ta chỉ cần sử dụng tới biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến là giải ngon lành rồi.

a. Gọi tọa độ của điểm A'(x’;y’), ta có:

$T_{\vec{v}}(A) =A’\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x’=x+a\\y’=y+b\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x’=3-1\\y’=5+2\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x’=2\\y’=7\end{array}\right.$

Vậy tọa độ của điểm A’ là A'(2;7)

Gọi tọa độ của điểm B'(x’;y’), ta có:

$T_{\vec{v}}(B) =B’\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x’=x+a\\y’=y+b\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x’=-1-1\\y’=1+2\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x’=-2\\y’=3\end{array}\right.$

Vậy tọa độ của điểm B’ là B'(-2;3)

b. Tìm tọa độ của điểm C

Điểm C ở đây chính là điểm vật, tọa độ của A(3;5) là tọa độ của điểm ảnh hay A(3;5)=A(x’;y’).

Gọi tọa độ của điểm C(x;y), áp dụng biểu thức tọa độ ta có:

$T_{\vec{v}}(C) =A\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x’=x+a\\y’=y+b\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}3=x-1\\5=y+2\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x=4\\y=3\end{array}\right.$

Vậy tọa độ của điểm C là C(4;3)

c. Việc tìm phương trình của đường thẳng d thầy sẽ hướng dẫn chúng ta giải theo 3 cách

Cách 1: Tìm phương trình của đường thẳng d theo biểu thức tọa độ

Gọi M(x;y) là điểm thuộc đường thẳng d và M'(x’;y’) là điểm thuộc đường thẳng d’. Ta có:

$T_{\vec{v}}(M) =M’\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x’=x+a\\y’=y+b\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x’=x-1\\y’=y+2\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x=x’+1\\y=y’-2\end{array}\right.$

Vì điểm $M\in d$ nên ta có tọa độ của M thỏa mãn phương trình đường thẳng d:

Ta có: $(x’+1)-2(y’-2)+3=0 \Leftrightarrow x’-2y’+8=0$

Như vậy điểm M’ thuộc đường thẳng d’ có phương trình là: $x-2y+8=0$

Cách 2: Tìm phương trình của đường thẳng d theo tính chất 2

Vì đường thẳng d’ cần tìm là ảnh của đường thẳng d nên đường thẳng d’ sẽ song song hoặc trùng với đường thẳng d. Khi đó đường thẳng d’ sẽ có phương trình là: $x-3y+c=0$

Lấy 1 điểm $D(-3;0)\in d$. Gọi $D'(x’;y’)\in d’$ là ảnh của điểm D qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{v}$. Ta có: $T_{\vec{v}}(D) =D’\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x’=x+a\\y’=y+b\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x’=-3-1\\y’=0+2\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x’=-4\\y’=2\end{array}\right.$

Vậy tọa độ của điểm D’ là: $D'(-4;2)$

Vì điểm D’ thuộc đường thẳng d’ nên tọa độ của D’ thỏa mãn phương trình d’, tức là: $-4-2.2+c=0 \Leftrightarrow c=8$. Từ đó ta có phương trình đường thẳng d’ là: $x-2y+8=0$

Cách 3: 

• Lấy 2 điểm M; N thuộc đường thẳng d
• Tìm ảnh của 2 điểm M; N qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{v}$
• Đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d sẽ đi qua M’; N’
• Viết phương trình đường thẳng M’N’

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình: $2x-3y+3=0$, đường thẳng $d_1$ có phương trình: $2x-3y-5=0$. Tìm tọa độ của vectơ $\vec{v}$ có giá vuông góc với đường thẳng d để $d_1$ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{v}$.

Hướng dẫn giải:

*. Phân tích bài toán:

• Đường thẳng $d_1$ là ảnh của d qua $T_{\vec{v}}$ nên $d//d_1$
• Vectơ $\vec{v}$ có giá vuông góc với đường thẳng d nên $\vec{v}$ chính là 1 vectơ pháp tuyến của d. Hay $\vec{v}$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d_2$ vuông góc với đường thẳng d.
• Viết phương trình đường thẳng $d_2$ bằng cách: đi qua 1 điểm M thuộc d và nhận VTPT của d làm VTCP
• Tìm giao của $d_2$ với $d_1$ tại điểm N. Khi đó $\vec{v} = \vec{MN}$

*. Lời giải:

Vì đường thẳng $d_1$ là ảnh của d qua $T_{\vec{v}}$ nên $d//d_1$. Mặt khác vectơ $\vec{v}$ có giá vuông góc với đường thẳng d nên $\vec{v}$ chính là 1 vectơ pháp tuyến của d. Hay $\vec{v}$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d_2$ vuông góc với đường thẳng d.

Viết phương trình đường thẳng $d_2$:

• Vectơ pháp tuyến của dường thẳng d: $\vec{n_d}=(2;-3) \Rightarrow \vec{n_d} $ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d_2$.
• Lấy điểm M(3;3) thuộc d.

Phương trình đường thẳng $d_2$ đi qua M nhận $\vec{n_d}$ làm VTCP: $\left\{\begin{array}{ll}x=3+2t\\y=3-3t\end{array}\right.$ $t\in R$

Giao điểm của $d_2$ với $d_1$ là điểm N:

Thỏa mãn hệ phương trình:  $\left\{\begin{array}{ll}x=3+2t\\y=3-3t\\2x-3y-5=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}t=\frac{8}{13}\\x=\frac{55}{13}\\y=\frac{15}{13}\end{array}\right.$

Ta có tọa độ của N là: $N(\frac{55}{13};\frac{15}{13})$

Tọa độ của vectơ MN là: $\vec{MN}=(\frac{16}{13};\frac{-24}{13})$

Vậy vectơ tịnh tiến $\vec{v}$ cần tìm là:$\vec{MN}=(\frac{16}{13};\frac{-24}{13})$

Qua bài giảng trên đã giúp chúng ta hiểu thêm về việc tìm tọa độ điểm bằng phép tính tiến. Chúng ta cần phải nắm được biểu thức tọa độ và tính chất của phép tịnh tiến để làm toán. Qua hai bài tập trên hy vọng phần nào giúp các bạn giải bài tập trong dạng này. Trong bài giảng sau thầy tiếp tục trình bày về phép tịnh tiến thông qua dạng bài tập tìm phương trình đường tròn và đường thẳng.