Tìm tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước

Tìm tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước có thể là điểm đó là giao của hai đường thẳng, là trung điểm, là trọng tâm, trực tâm, hoặc điểm này cùng với những điểm khác tạo thành tam giác cân, tam giác vuông…Những điều kiện cho trước ở đây thì rất nhiều và đa dạng.

Tuy nhiên trong bài này thầy muốn nói tới dạng toán tìm tọa độ điểm thuộc đường thẳng thỏa mãn một điều kiện K  cho trước. Điều kiện K ở đây liên quan tới khoảng cách, liên quan tới giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, vị trí tương đối của điểm so với đường thẳng. Cụ thể như sau:

Bài toán: Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc đường thẳng $d$ thỏa mãn điều kiện $K$ cho trước.

Để làm những dạng toán như thế này ta lựa chọn một trong hai hướng sau:

Hướng 1: Các bạn xem phương trình đường thẳng $d$ cho trước ở dạng như thế nào? Dạng tổng quát, dạng tham số hay chính tắc.

Cách 1: Nếu đường thẳng $d$ cho ở dạng tham số: $d: \left\{\begin{array}{ll}x=x_0+at\\y=y_0+bt\end{array}\right.; t\in R$

Bước 1: Lấy điểm $M$ thuộc $d$, suy ra $M(x_0+at;y_0+bt)$

Bước 2: Dựa vào điều kiện $K$ để xác định t. Khi xác định được $t$ ta sẽ tìm được tọa độ $M$.

Cách 2: Nếu đường thẳng $d$ cho ở dạng tổng quát: $d: Ax+By+C=0$ với $A^2+B^2>0$.

Bước 1: Lấy điểm $M(x_M;y_M)\in d$, khi đó ta sẽ có: $Ax_M+By_M+C=0$

Bước 2: Sử dụng điều kiện $K$ thiết lập thêm một phương trình nữa cho $x_M$ và $y_M$. Từ đó tìm được tọa độ của điểm $M$.

Lưu ý: Ta cũng có thể chuyển phương trình tổng quát về dạng tham số để áp dụng.

Cách 3: Nếu đường thẳng $d$ cho ở dạng chính tắc thì ta có thể chuyển về dạng tham số để áp dụng

Hướng 2: Sử dụng điều kiện $K$ khẳng định $M$ thuộc đường thẳng $L$, khi đó $d \cap L={M}$

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Cho đường thẳng $d$ có phương trình: $x-2y+15=0$. Tìm trên đường thẳng $d$ điểm $M(x_M;y_M)$ sao cho $x_M^2+y_M^2$ nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải:

Cách 1:

Vì điểm $M$ thuộc đường thẳng $d$ nên ta có: $x_M-2y_M+15=0 \Rightarrow x_M=2y_M-15$   (1)

Khi đó ta có:

$x^2_M+y^2_M$

$=(2y_M-15)^2+y^2_M$

$= 4y^2_M-60y_M+225+y^2_M$

$= 5y^2_M-60y_M+225$

$=5(y^2_M-12y_M+36)+45$

$=5(y_M-6)^2+45 \geq 45$

Vậy $x^2_M+y^2_M$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng 45 khi $y_M-6=0 \Leftrightarrow y_M=6$

Với $y_M=6 \Rightarrow x_M=-3$. Vậy tọa độ điểm $M$ là: $M(-3;6)$

Cách 2:

Chuyển phương trình đường thẳng $d$ về dạng tham số: $d: \left\{\begin{array}{ll}x=2t-15\\y=t\end{array}\right.; t\in R$

Điểm $M \in d \Rightarrow M(2t-15;t)$. Khi đó ta có:

$x^2_M+y^2_M = (2t-15)^2+t^2=5t^2-60t+225=5(t-6)^2+45\geq 45$

Vậy $x^2_M+y^2_M$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $45$ khi $t-6=0 \Leftrightarrow t=6$

Với $t=6 \Leftrightarrow M(-3;6)$

Bài 2: Cho hai điểm $A(0;2); B(2;-2)$ và đường thẳng $d_1$ có phương trình: $x-y-1=0$, đường thẳng $d_2$ có phương trình: $x+y+1=0$.

a. Tìm điểm $M$ trên $d_1$ sao cho: $MA+MB$ nhỏ nhất.

b. Tìm điểm $N$ trên $d_2$ sao cho $NA+NB$ nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải:

a. Để làm dạng toán này trước hết các bạn cần xác định vị trí của điểm $A; B$ so với đường thẳng $d_1$ xem chúng nằm cùng phía hay khác phía với $d_1$.

Thay tọa độ của điểm $A$ vào $d_1$ ta có: $t_A=-2-1=-3$

Thay tọa độ của điểm $B$ vào $d_1$ ta có: $t_B=2+2-1=3$

Xét tích: $t_A.t_B = -3.3 =-9 <0$. Do đó $A$ và $B$ khác phía so với $d_1$.

Ta luôn có: $MA+MB \geq AB$. Do đó $MA+MB$ đạt giá trị nhỏ nhất là $AB$, tức là $MA+MB=AB$.

Để  $MA+MB=AB$ thì 3 điểm $A, B, M$ phải thẳng hàng và $M$ phải nằm giữa $A$ và $B$. Khi đó $M$ sẽ là giao điểm của $AB$ và đường thẳng $d_1$.

Tới đây để tìm được tọa độ của điểm $M$ thỏa mãn điều kiện, ta chỉ việc đi tìm giao điểm của đường thẳng $AB$ và đường thẳng $d_1$.

Ta có: $\vec{AB}=(2;-4)$. Vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ là: $\vec{u}=\frac{1}{2}\vec{AB}=(1;-2)$

Phương trình đường thẳng $AB$ đi qua điểm A(0;2) là: $\left\{\begin{array}{l}x=t\\y=2-2t\end{array}\right. \hspace{1cm}t\in R$

Thay $x;y$ vừa tìm được ở phương trình đường thẳng $AB$ vào phương trình đường thẳng $d_1$ ta có:

$t-(2-2t)-1=0 \Leftrightarrow t-2+2t-1=0 \Leftrightarrow t=1$

Thay $t=1$ ngược trở lại phương trình $AB$ được: $x=1;y=0$. Vậy tọa độ của điểm $M$ là: $M(1;0)$

 b. Tương tự ý (a) trước hết các bạn cần xác định vị trí của điểm $A; B$ so với đường thẳng $d_2$ xem chúng nằm cùng phía hay khác phía với $d_2$.

Thay tọa độ của điểm $A$ vào $d_2$ ta có: $t_A=2+1=3$

Thay tọa độ của điểm $B$ vào $d_2$ ta có: $t_B=1$

Xét tích: $t_A.t_B = 3.1 =3>0$. Do đó $A$ và $B$ cùng phía so với $d_2$.

Tới đây các bạn làm như sau:

Bước 1: Gọi $A_1$ là điểm đối xứng của $A$ qua $d_2$.

Bước 2: Ta có: $NA+NB=NA_1+NB \geq A_1B$.

Do đó: $(NA+NB)$ đạt giá trị nhỏ nhất là $A_1B$ khi 3 điểm $A_1; N; B$ thẳng hàng. Tức $N$ là giao điểm của đường thẳng $d_2$ và đường thẳng $A_1B$

Các bạn thực hiện như sau:

1. Tìm tọa độ của điểm $A_1$ như sau:

• Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A$ và vuông góc với $d_2$
• Tìm giao của $\Delta$ với $d_2$ là điểm $H$
• $H$ là trung điểm của $AA_1$. Dựa vào biểu thức tọa độ trung điểm để tìm tọa độ điểm $A_1$.

2. Viết phương trình đường thẳng $A_1B$

3. Tìm giao điểm của đường thẳng $d_2$ và $A_1B$

Các bạn tự giải bài này nhé. Vì lời giải khá dài nên thầy chỉ hướng dẫn các bạn làm như vậy thôi. Tới đây chắc ai cũng biết làm rồi.

Bài toán trên có thể phát biểu tổng quát như sau:

“Tìm trên đường thẳng $d$ điểm $M$ sao cho $MA+MB$ nhỏ nhất, với các điểm $A$ và $B$ cho trước và không thuộc đường thẳng $d$.”

Để giải bài toán này ta có phương pháp tổng quát như sau:

Xác định $t_A.t_B=(ax_A+by_A+c)(ax_B+by_B+c)$

Có một trong hai khả năng sảy ra:

• Khả năng 1: Nếu $t_A.t_B<0$ thì $A$ và $B$ ngược phía đối với $d$

Với trường hợp này các bạn áp dụng ý (a) của bài 2

• Khả năng 2: Nếu $t_A.t_B>0$ thì $A$ và $B$ cùng phía đối với $d$

Với trường hợp này các bạn áp dụng ý (b) của bài 2

Đây là 2 bài toán liên quan tới việc tìm tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước. Còn một số bài toán cũng gần tương tự như 2 bài toán trên, thời gian tới thầy sẽ tiếp tục gửi tơi các bạn bài tập này và phương pháp làm chúng.