Tính chất cực hay của đường phân giác khi tìm tọa độ điểm

Các bài toán về các đường trong tam giác luôn là chủ đề hay và được rất nhiều bạn quan tâm. Ở bài viết này thầy muốn gửi tới các bạn những tính chất của đường phân giác trong tam giác. Đặc biệt thầy sẽ đi xâu vào 1 tính chất rất hay dùng và thường xuyên được áp dụng của đường phân giác khi tìm tọa độ điểm trong mặt phẳng Oxy.

Bạn biết cách viết phương trình đường phân giác chưa? Cách viết phương trình đường phân giác

Tính chất hay của đường phân giác khi tìm tọa độ điểm

Vâng tính chất cực hay mà thầy muốn nói tới trong này chính là cái tính chất này.

Cho góc xOy và đường phân giác Oz của góc xOy, A là điểm bất kì trên tia Ox. Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua Oz thì điểm A’ sẽ thuộc tia Oy.

Với bài toán dạng này thì sẽ giúp chúng ta tìm tọa độ điểm đối xứng $A’$ của điểm $A$.

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng $AA’$ qua A và vuông góc với đường phân giác.

Bước 2: Tìm tọa độ giao điểm của $AA’$ với đường phân giác là điểm $I$.

Bước 3: Tìm tọa độ của điểm $A’$ dựa vào tọa độ 2 điểm A và I

Khi chúng ta gặp bài toán mà cho phương trình đường phân giác thì khả năng sử dụng tới tính chất này là rất cao. Đây là tính chất mà chúng ta thường hay sử dụng khi bài toán cho đường phân giác. Với tính chất này chúng ta có thể giải quyết được rất nhiều bài toán từ đơn giản tới phức tạp.

Chắc sẽ có bạn hỏi chứng minh tính chất này như nào? Để chứng minh tính chất này các bạn chỉ việc sử dụng hình học phẳng được học cấp 2 là có thể chứng minh được rồi. Các bạn tự làm việc này nếu muốn. Trong khuôn khổ bài viết này thầy sẽ đưa ra cho các bạn một số ví dụ liên quan tới đường phân giác để áp dụng cái tính chất này và hướng dẫn các bạn cách làm.

Bài tập áp dụng tính chất đường phân giác

Trong phần này thầy sẽ gửi tới các bạn 5 bài tập có áp dụng tính chất hay mà thầy nói ở trên, tuy nhiên thầy chỉ hướng dẫn các bạn 1 ví dụ cụ thể thôi. Những bài tập còn lại sẽ cho các bạn hướng làm. Đây cũng chính là những bài tập của các bạn thảo luận trong một số bài viết của thầy, thầy tập hợp lại vào bài viết này cho những bạn khác tiện theo dõi.

Bài tập 1: Cho tam giác ABC có $A(2,4)$ và hai đường phân giác trong góc B và góc C lần lượt là: $d_1: x+y-2=0, d_2: x-3y-6=0$. Viết phương trình đường thẳng BC.

Hướng dẫn:

Phân tích:

Bài toán này cho 2 đường phân giác góc B và góc C, biết tọa độ điểm A. Như vậy ta thấy theo tính chất trên thì nếu gọi $A_1$, $A_2$ lần lượt là 2 điểm đối xứng với $A$ và $B$ qua $d_1$, $d_2$ thì $A_1$ và $A_2$ sẽ phải thuộc BC. Như vậy bài toán viết phương trình đường thẳng BC được giải quyết.

Cách làm:

Gọi $A_1$, $A_2$ lần lượt là điểm đối xứng của điểm $A$ qua phân giác $d_1$ và $d_2$.

Tìm tọa độ điểm $A_1$:

Vì $AA_1$ vuông góc với $d_1$ nên phương trình đường thẳng $AA_1$ có dạng: $x-y+c=0$.

Vì đường thẳng $AA_1$ đi qua $A(2;4)$ nên ta có: $2-4+c=0\Rightarrow c=2$.

Vậy phương trình đường thẳng $AA_1$ là: $x-y+2=0$

Gọi điểm $I$ là giao của đường thẳng $AA_1$ và $d_1$. Tọa độ I thỏa mãn hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{ll}x-y+2=0\\x+y-2=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x=0\\y=2\end{array}\right.$

Vậy tọa độ $I(0;2)$

Vì I là trung điểm của $AA_1$ nên tọa độ của điểm $A_1$ là: $A_1(-2;0)$

Tìm tọa độ điểm $A_2$:

Vì $AA_2$ vuông góc với $d_2$ nên phương trình đường thẳng $AA_2$ có dạng: $3x+y+c=0$.

Vì đường thẳng $AA_2$ đi qua $A(2;4)$ nên ta có: $2.3+4+c=0\Rightarrow c=-10$.

Vậy phương trình đường thẳng $AA_2$ là: $3x+y-10=0$

Gọi điểm $K$ là giao của đường thẳng $AA_2$ và $d_2$. Tọa độ K thỏa mãn hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{ll}x-3y-6=0\\3x+y-10=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x=\frac{18}{5}\\y=\frac{-4}{5}\end{array}\right.$

Vậy tọa độ $K(\frac{18}{5};\frac{-4}{5})$

Vì K là trung điểm của $AA_2$ nên tọa độ của điểm $A_2$ là: $A_2(\frac{26}{5};\frac{-28}{5})$

Vectơ $\vec{A_1A_2}(\frac{36}{5};\frac{-28}{5})$

Lấy $\vec{u}=\frac{5}{4}\vec{A_1A_2}=(9;-7)$

Đường thẳng $A_1A_2$ đi qua $A_1(-2;0)$ nhận $\vec{u}(9;-7)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là: $\left\{\begin{array}{ll}x=-2+9t\\y=-7t\end{array}\right. \hspace{1cm} t\in R$

Vậy đường thằng BC cần tìm có phương trình là: $\left\{\begin{array}{ll}x=-2+9t\\y=-7t\end{array}\right. \hspace{1cm} t\in R$

Bài tập tự luyện và hướng dẫn

Bài tập 2: Cho tam giác ABC cân có phương trình đường thẳng AB là: $x=1$, AC là: $3x-2y+25=0$. M(-1.3) thuộc BC. Viết phương trình đường thẳng BC.

Hướng dẫn:

Em viết phương trình đường phân giác góc A
Vì tam giác ABC cân nên đường phân giác cũng là đường cao. =>vtpt của BC
Từ đây viết đc ptđt của BC

Bài tập 3: Viết phương trình các cạnh tam giác biết $C(4;3)$, đường phân giác trong AK có phương trình là: $x+2y-5=0$, đường trung tuyến AM có phương trình là: $4x+13y-10=0$.

Hướng dẫn:

Tìm tọa độ điểm A là giao điểm của phân giác AD và trung tuyến AM => Viết phương trình đường thẳng AC
Gọi C’ là điểm đối xứng của C qua phân giác AD => C’ thuộc AB. Em sẽ tìm được tọa độ của C’.
=> Viết phương trình đường thẳng AB.
Tọa độ hóa điểm B theo đường thẳng AB. Sử dụng tính chất trung điểm để tính tọa độ M theo B và C.
Thay tọa độ của M vào phương trình đường trung tuyến AM => tọa độ M, tọa độ của B
=> Viết phương trình đường thẳng BC

Bài tập 4: Cho tam giac ABC có phương trình đường thẳng AB là: $5x – 2y + 7 = 0$, phương trình đường cao AH là: $6x + y – 15 = 0$, đường trung tuyến BM có phương trình là: $3x – 4y – 7 = 0$. Viết phương trình đường thẳng BC và tìm tọa độ điểm C

Hướng dẫn:

Tìm tọa độ điểm A là giao của AB và AH
Tìm tọa độ điểm B là giao của AB và BM
Viết phương trình đường thẳng BC đi qua B và vuông góc với AH
Tọa độ hóa điểm C theo đường thẳng BC vừa viết được.
Tìm tọa độ điểm M theo tọa độ của A và C
Thay tọa độ M vừa tìm được vào trung tuyến BM => tọa độ M => tọa độ C

Bài tập 5: Cho tam giác ABC có đỉnh $A(1;2)$, đường trung tuyến BM có phương trình $2x+y+1=0$ và phân giác trong CD có phương trình$x+y-1=0$. Viết phương trình đường cao của tam giác ABC.

Hướng dẫn:

Gọi A’ là điểm dối xứng với A qua phân giác CD. Khi đó A’ thuộc BC.

Gọi K là giao điểm của CD và AA’

B1: Viết phương trình đường thẳng AA’ đi qua A và vuông góc với đường thẳng CD

B2: Tìm tọa độ của K là giao của AA’ và CD. => tọa độ của A’.

B3: Gọi M(m;-2m-1) thuộc đt BM cho trước.=>C(-2m-1;-4m-4) (M là trung điểm AC)

B4: Vì C thuộc phân giác CD => tọa độ C => tọa độ của M

B5: Viết ptđt CA’ => ptđt BC =< tọa độ B là giao của BC với BM B6: Bài toán lúc này đã biết tọa độ 3 đỉnh A, B, C. Viết được phương trình đường cao trong tam giác rồi

Lời kết

Chắc chắn với các bạn rằng việc áp dụng tính chất trên của đường phân giác khi tìm tọa độ điểm, tìm phương trình đường thẳng hay được sử dụng rất nhiều. Hãy nghiên cứu kĩ tính chất này và áp dụng sao cho linh hoạt. Các bạn hãy làm hết các bài tập thầy gửi phía trên, ắt hẳn các bạn sẽ thấy tính chất này của đường phân giác thực sự xứng đáng la tính chất cực hay. Hãy cho biết ý kiến của bạn về nhận xét này.