Tọa độ của vectơ – tọa độ của điểm

1. Lý thuyết

Với hai điểm $A(x_A;y_A)$ và $B(x_B;y_B)$ ta có:

Tọa độ của vectơ AB là: $\vec{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)$

Độ dài của vectơ AB là: $AB=|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

Với hai vectơ $\vec{a}(x_1;y_1)$ và $\vec{b}(x_2;y_2)$ ta có:

$\vec{a}=x_1.\vec{i}+y_1.\vec{j}$ với $\vec{i}(1;0)$ và $\vec{j}(0;1)$ là các vectơ đơn vị thuộc trục Ox và Oy.

$\vec{a}=\vec{b}$ <=> $\left\{\begin{array}{ll}x_1=x_2\\y_1=y_2\end{array}\right.$

$m.\vec{a}+n.\vec{b}=m. (x_1;y_1) +n. (x_2;y_2) =(mx_1+nx_2;m.y_1+n.y_2)$

2. Bài tập tìm tọa độ vectơ – tọa độ điểm

Bài tập 1: Biểu diễn vectơ $\vec{a}$ dưới dạng: $\vec{a}=x.\vec{i}+y.\vec{j}$ biết
a. $\vec{a}(1;-1)$ $\hspace{2cm}$ b. $\vec{a}(3;5)$
c. $\vec{a}(6;0)$ $\hspace{3cm}$ d. $\vec{a}(0;-2)$

Hướng dẫn:

a. Ta có: $\vec{a}=1.\vec{i}-1.\vec{j} = \vec{i}-\vec{j}$

b. Ta có: $\vec{a}=3.\vec{i}+5.\vec{j}$

c. Ta có: $\vec{a}=6.\vec{i}-0.\vec{j} = 6\vec{i}$

d. Ta có: $\vec{a}=0.\vec{i}-2.\vec{j} = -2\vec{j}$

Bài tập 2: Xác định tọa độ của vectơ $\vec{a}$ biết:

a. $\vec{a}=3\vec{i}-4\vec{j}$ $\hspace{2cm}$ b. $\vec{a}=-2\vec{i}+\dfrac{2}{3}\vec{j}$
c. $\vec{a}=-4\vec{j}$ $\hspace{3cm}$ b. $\vec{a}=-7\vec{i}$

Hướn dẫn:

a. Ta có $\vec{a}= (3;-4)$

b. Ta có $\vec{a}= (-2;\dfrac{2}{3})$

c. Ta có $\vec{a}= (0;-4)$

d. Ta có $\vec{a}= (-7;0)$

Bài tập 3: Xác định tọa độ của vectơ $\vec{c}$ và tính độ dài của vectơ $\vec{c}$ biết:

a. $\vec{c}=\vec{a}+3\vec{b}$ với $\vec{a}(2;-1)$ và $\vec{b}(3;4)$
b. $\vec{c}=2\vec{a}-5\vec{b}$ với $\vec{a}(-1;2)$ và $\vec{b}(-2;-3)$

Hướng dẫn:

a. Ta có: $\vec{c}=\vec{a}+3\vec{b}=(2;-1)+3(3;4)=(2+9;-1+12)=(11;11)$

Độ dài vectơ $\vec{c}$ là: $|\vec{c}|=\sqrt{11^2+11^2}=11\sqrt{2}$

b. Ta có: $\vec{c}=2\vec{a}-5\vec{b}=2.(-1;2)-5.(-2;-3)=(-2+10;4+15)=(8;19)$

Độ dài vectơ $\vec{c}$ là: $|\vec{c}|=\sqrt{8^2+19^2}=5\sqrt{17}$

Bài tập 4: Cho hai điểm $A(-1;1)$ và $B(1;3)$

a. Xác định tọa độ của các vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{BA}$
b. Tìm tọa độ điểm M sao cho: $\vec{BM}(3;0)$
c. Tìm tọa độ của điểm N sao cho: $\vec{NA}(1;1)$

Hướng dẫn:

a. Ta có: $\vec{AB}(2;2)$ và $\vec{BA}(-2;-2)$

b. Giả sử tọa độ của điểm M là $M(x;y)$

Khi đó: $\vec{BM}=(x-1;y-3)$. Mà $\vec{BM}(3;0)$

=> $\left\{\begin{array}{ll}x-1=3\\y-3=0\end{array}\right.$ <=> $\left\{\begin{array}{ll}x=4\\y=3\end{array}\right.$ <=> $M(4;3)$

c. Giả sử tọa độ của điểm N là $N(x;y)$

Khi đó: $\vec{NA}=(-1-x;1-y)$. Mà $\vec{NA}(1;1)$

=> $\left\{\begin{array}{ll}-1-x=1\\1-y=1\end{array}\right.$ <=> $\left\{\begin{array}{ll}x=-2\\y=0\end{array}\right.$ <=> $N(-2;0)$

Bài giảng trên thầy đã chia sẻ với các bạn một số công thức và bài tập liên quan tới việc tìm tọa độ của vectơ và tìm tọa độ của một điểm. Hy vọng các bạn có một bài học bổ ích.