Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết hai đường trung tuyến BM, CN và tọa độ điểm A

Dạng 1: Cho tam giác ABC biết tọa độ đỉnh A và phương trình hai đường trung tuyến xuất phát từ hai đỉnh B và C là BM và CN. Tìm tọa độ đỉnh B, C rồi viết phương trình đường thẳng các cạnh của tam giác ABC.

Phương pháp:

Cách 1:

B1: Tìm tọa độ trọng tâm $G(x_G;y_G)$ của tam giác ABC
B2: Tham số hóa tọa độ của $B(x_B;x_C)$ và $C(x_C;y_C)$ theo phương trình của đường thẳng BM và CN

B3: Tìm tọa độ của B và C theo công thức:
$x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}; y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}$
B4: Viết phương trình đường thẳng các cạnh của tam giác ABC.

Cách 2:

B1: Tìm tọa độ trọng tâm $G(x_G;y_G)$  của tam giác AB
B2: Xác định điểm P đối xứng với điểm A qua G theo công thức trung điểm. Khi đó tứ giác BGCP là hình bình hành.
B3: Lập phương trình đường thẳng PC qua P và song song với trung tuyến CN. C là giao điểm của PC với CN.
B4: Lập phương trình đường thẳng PB qua P và song song với trung tuyến CN. B là giao điểm của PB với BM.
B5: Viết phương trình đường thẳng các cạnh của tam giác ABC.

Xem thêm bài giảng:

• Cách viết phương trình đường trung tuyến trong tam giác
• 2 Cách viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng
• Tính chất cực hay của đường phân giác khi tìm tọa độ điểm
• Cách tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng

Bài tập 1:

Cho tam giác ABC có $A(1;3)$ và hai đường trung tuyến BM: x-2y+1=0 và CN: y-1=0. Viết phương trình đường thẳng các cạnh của tam giác ABC.

Hướng dẫn:

Cách 1:

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{ll}x-2y+1=0\\y-1=0\end{array}\right.$ <=> $\left\{\begin{array}{ll}x=1\\y=1\end{array}\right.$ =>  $G(1;1)$

Gọi $B(x_B;y_B)$. Vì điểm B thuộc đường trung tuyến BM nên ta có: $x_B-2y_B+1=0$ => $x_B=2y_B-1$ => $B(2y_B-1;y_B)$

Gọi $C(x_C;y_C)$. Vì điểm C thuộc đường trung tuyến CN nên ta có: $y_C-1=0$ => $y_C=1$ => $C(x_C;1)$

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

$\left\{\begin{array}{ll}x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}\\y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\end{array}\right.$ <=> $\left\{\begin{array}{ll}1=\dfrac{1+2y_B-1+x_C}{3}\\1=\dfrac{3+y_B+1}{3}\end{array}\right.$ <=> $\left\{\begin{array}{ll}2y_B+x_C=3\\y_B+4=3\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x_C=5\\y_B=-1\end{array}\right.$

Từ đó ta có tọa độ hai điểm B và C là: $B(-3;-1), C(5;1)$

Khi đó phương trình đường thẳng cạnh AB là: $x-y+2=0$

Phương trình đường thẳng cạnh AC là: $x+2y-7=0$

Phương trình đường thẳng cạnh BC là: $x-4y-1=0$

Cách 2:

Theo cách 1 ta có: $G(1;1)$

Gọi P là điểm đối xứng với A qua G, ta có:

$\left\{\begin{array}{ll}x_G=\dfrac{x_A+x_P}{2}\\y_G=\dfrac{y_A+y_P}{2}\end{array}\right.$ <=> $\left\{\begin{array}{ll}x_P=2x_G-x_A\\y_P=2y_G-y_A\end{array}\right.$ <=> $\left\{\begin{array}{ll}x_P=1\\y_P=-1\end{array}\right.$ => $P(1;-1)$

Tứ giác BGCP là hình bình hành nên PC//BM nên phương trình PC có dạng: $x-2y+m=0$

Vì P thuộc đường thẳng PC nên ta có: $1-2(-1)+m=0$ => $m=-3$

Phương trình PC là: $x-2y-3=0$

Tọa độ đỉnh C là nghiệm của hệ: $\left\{\begin{array}{ll}y-1=0\\x-2y-3=0\end{array}\right.$<=>$\left\{\begin{array}{ll}x=5\\y=1\end{array}\right.$ => $C(5;1)$

Mà PB//CN ( vì tứ giác BGCPlà hình bình hành) nên phương trình PB có dạng: $y+n=0$

Vì P thuộc đường thẳng PB nên ta có: $1+n=0$ => $n=1$

Phương trình PB là: $y+1=0$

Tọa độ đỉnh B là nghiệm của hệ: : $\left\{\begin{array}{ll}y+1=0\\x-2y+1=0\end{array}\right.$<=>$\left\{\begin{array}{ll}x=-3\\y=-1\end{array}\right.$ => $B(-3;-1)$

Khi đó phương trình cạnh AB là: $x-y+2=0$

Phương trình cạnh AC là: $x+2y-7=0$

Phương trình cạnh BC là: $x-4y-1=0$

Bài tập rèn luyện:

Bài 1: Cho tam giác ABC có $A(3;1)$ và hai đường trung tuyến BM: $2x-y-1=0$ và CN: $x-1=0$. Lập phương trình đường thẳng các cạnh của tam giác ABC.

Bài 2: Cho tam giác ABC có $A(-2;3)$ và hai đường trung tuyến BM: $x-2y+1=0$ và CN: $x+y+4=0$. Tìm tọa độ các đỉnh B, C và viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.

Bài giảng này thầy đã hướng dẫn các bạn cách viết phương trình đường thẳng các cạnh của tam giác ABC khi biết tọa độ một đỉnh và phương trình hai đường trung tuyến xuất phát từ hai đỉnh còn lại. Các em hãy áp dụng 2 phương pháp này cho những bài toán tương tự nhé. Chúc các em học tập tốt.

Hãy comment những ý kiến của bạn về bài giảng này hoặc muốn trao đổi thêm về bài toán khác ở ngay dưới đây nhé, thầy và các bạn khác có thể sẽ trợ giúp được các bạn.