Viết phương trình các đường cao của tam giác trong mặt phẳng Oxy

Để viết phương trình đường cao trong tam giác thì các bạn có thể viết chúng dưới dạng phương trình tổng quát hoặc phương trình tham số. Các bạn cần tìm một điểm mà đường cao đi qua và một vectơ chỉ phương hoặc vectơ pháp tuyến.

Trong bài giảng này thầy sẽ chia sẻ với các bạn một số dạng bài tập có thể các bạn sẽ gặp trong quá trình học tập và ôn thi.

Tham khảo thêm bài giảng:

Bài tập viết phương trình đường cao trong tam giác

Bài tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm $A(1;2)$, $B(2;1)$ và $C(-2;4)$.

a. Viết phương trình ba đường cao của tam giác ABC.

b. Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Hướng dẫn:

a. Ta có: $\vec{AB}(1;-1)$; $\vec{AC}(-3;2)$; $\vec{BC}(-4;3)$

Phương trình đường cao AH:

Đường thằng AH đi qua $A(1;2)$ vuông góc với BC nên sẽ nhận $\vec{BC}(-4;3)$ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình đường thẳng AH là:

$-4(x-1)+3(y-2)=0$ <=> $-4x+3y-2=0$

Phương trình đường cao BH:

Đường thằng BH đi qua $B(2;1)$ vuông góc với AC nên sẽ nhận $\vec{AC}(-3;2)$ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình đường thẳng BH là:

$-3(x-2)+2(y-1)=0$ <=> $-3x+2y+4=0$

Phương trình đường cao CH:

Đường thằng CH đi qua $C(-2;4)$ vuông góc với AB nên sẽ nhận $\vec{AB}(1;-1)$ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình đường cao CH là:

$1(x+2)-1(y-4)=0$ <=> $x-y+6=0$

b. Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên điểm H là giao của ba đường cao AH, BH và CH. Tuy nhiên ta chỉ cần xác định tọa độ điểm H là giao của hai trong ba đường cao là được.

Ta chọn tọa độ trực tâm H là giao điểm của hai đường cao AH và BH. Tọa độ của điểm H là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{ll}-4x+3y-2=0\\-3x+2y+4=0\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x=-16\\y=-22\end{array}\right.$

Vậy tọa độ trực tâm H là: $H(16;22)$

Bài tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết phương trình đường thẳng AB và AC lần lượt là: $4x-y-7=0$ và $x-y-1=0$, tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là $G(2;0)$. Lập phương trình tổng quát của đường cao AH của tam giác ABC.

Hướng dẫn:

Để viết được phương trình đường cao AH thì chúng ta cần xác định được một điểm mà đường thẳng đi qua và 1 vectơ pháp tuyến. Với bài toán này chúng ta cần xác định được:

– Tọa độ của điểm A nhờ vào phương trình đường thẳng AB và AC.

– Tìm được vectơ pháp tuyến là vectơ $\vec{BC}$. Để tìm được tọa độ của vectơ BC thì cần xác định được tọa độ của hai điểm B và C bằng cách:

– Tọa độ hóa điểm B và điểm C dựa vào phương trình đường thẳng AB và AC

– Tìm tọa độ trung điểm M của BC (dựa vào điểm A và G)

– Tìm mối liên hệ giữa ba điểm B, M và C. Từ đó suy ra được tọa độ của B và C.

Lời giải:

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{ll}4x-y-7=0\\x-y-1=0\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x=2\\y=1\end{array}\right.$

Vậy tọa độ điểm A là: $A(2;1)$

Gọi $M(x_M;y_M)$ là trung điểm của BC. Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

$\vec{AM}=\dfrac{3}{2}\vec{AG}$

<=> $(x_M-2;y_M-1)=\dfrac{3}{2}(0;-1)$

<=> $(x_M-2;y_M-1)=(0;-\dfrac{3}{2})$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x_M-2=0\\y_M-1=-\dfrac{3}{2}\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x_M=2\\y_M=-\dfrac{1}{2}\end{array}\right.$

Vậy tọa độ của điểm M là: $M(2; -\dfrac{1}{2})$

Vì đường thẳng AB có phương trình là $4x-y-7=0$ nên tọa độ điểm B là: $(x_B;4x_B-7)$ (tọa độ hóa điểm B)

Vì đường thẳng AC có phương trình là $x-y-1=0$ nên tọa độ điểm C là $C(x_C;x_C-1)$ (tọa độ hóa điểm C)

Vì M là trung điểm của BC nên ta có:

<=> $\left\{\begin{array}{ll}x_B+x_C=2.2\\4x_B-7+x_C-1=2.\dfrac{-1}{2}\end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{ll} x_B+x_C=4\\4 x_B+x_C=7 \end{array}\right.$

<=> $\left\{\begin{array}{ll} x_B=1 \\x_C=3 \end{array}\right.$

Với $x_B=1$ => $y_B=-3$ => $B(1;-3)$

Với $x_C=3$ => $y_C=2$ => $C(3;2)$

Tọa độ của vectơ BC là: $\vec{BC}(2;5)$

Đường cao AH đi qua $A(2;1)$ và nhận $\vec{BC}(2;5)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là:

$2(x-2)+5(y-1)=0$ <=> $2x+5y-9=0$

Bài giảng này thầy đã có hai bài tập giúp các bạn có thêm phương pháp viết phương trình đường cao trong tam giác nói riêng và viết phương trình đường thẳng nói chung. Hy vọng qua bài viết này các bạn sẽ có nền tảng để phát triển và làm thêm nhiều dạng bài tập khác nữa. Hãy cho biết ý kiến của bạn về bài giảng này và chia sẻ thêm những cách làm hay hơn nữa.

Chia sẻ lên mạng xã hội:

HOCTOAN24H

Cám ơn các bạn đã ghé thăm blog của mình. Hãy tặng HOCTOAN24H.NET 1 like + 1 lời động viên nếu thấy bài viết có ích với bạn. Chia sẻ với mục đích: "Cho đi là nhận"

Có thể bạn sẽ thích...

Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn!

2 Thảo luận

  1. Thanh Nhi says:

    Ở bài 1, cái đề ghi là A(1;2) mà ở dưới bài giải lại có điểm A(1;-1) và cả lập vecto chỉ phương AB(1;2). Ad có nên sửa lại ko? Tại dễ hiểu sai ấy mà.

Leave a Reply

You have to agree to the comment policy.

error: Xin lỗi đã làm phiền bạn !!