Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàng

Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàng là một dạng toán cơ bản trong dạng toán về đường tròn. Bài giảng trước thầy đã gửi tới các bạn bài giảng viết phương trình đường tròn biết tâm và bán kính, các bạn có thể xem qua. Để lập được phương trình đường tròn với dạng này chúng ta cùng tìm hiểu phương pháp làm dưới đây:

Phương pháp viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm

Giả sử cho đường tròn (C) và  3 điểm không thẳng hàng A, B, C. Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B và C

Cách 1:

Bước 1: Gọi phương trình đường tròn (C) có dạng: $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với $a^2+b^2-c>0$

Bước 2: Thay tọa độ của 3 điểm A, B, C vào phương trình đường tròn (C) ta được một hệ 3 phương trình ẩn a, b và c.

Bước 3: Giải hệ trên ta được a, b và c.

Bước 4: Thay a, b và c vừa tìm được ở bước 3 vào phương trình đường tròn (C) đã gọi ở trên ta sẽ được phương trình đường tròn (C) cần tìm.

Cách 2: 

Bước 1: Gọi tâm đường tròn là điểm $I(a;b)$. Vì 3 điểm A, B và C thuộc đường tròn nên ta có: $IA=IB=IC$. Từ đây ta cũng có hệ phương trình sau: $\left\{\begin{array}{ll}IA^2=IB^2\\IA^2=IC^2\end{array}\right.$

Bước 2: Các bạn giải hệ phương trình trên cũng tìm được tọa độ của tâm $I$

Bước 3: Tìm bán kính $R=IA=IB=IC$

Bước 4: Thay tọa độ điểm I và bán kính R vào phương trình đường tròn dạng: $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$

Đối với cách 2 này cũng tương tự như cách 1.

Cách 3: 

Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B và C có thể phát biểu thành bài toán viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Như vậy ta có thêm một cách phát biểu bài toán nữa và từ đây ta sẽ có thêm một cách viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàng.

Gọi phương trình đường tròn có dạng: $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$

Bước 1: Tìm tọa độ trung điểm của hai trong 3 cạnh tam giác, giả sử là $AB$ và $BC$

Bước 2: Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ và $BC$

Bước 3: Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường trung trực trên, giả sử là điểm $I$. Khi đó $I$ chính là tâm đường tròn đi qua 3 điểm A, B và C.

Bước 4: Tính bán kính $R=IA=IB=IC$

Bước 5: Thay tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ vào phương trình đường tròn.

Chú ý: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của 3 đường tung trực trong tam giác. Chúng ta xác định 2 đường trung trực là đủ rồi.

Trên đây là 3 phương pháp lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm không thẳng hàng. Để áp dụng các phương pháp trên chúng ta cũng tìm hiểu một số bài tập dưới đây.

Xem thêm bài giảng: Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn

Bài tập lập phương trình đương tròn đi qua 3 điểm

Bài tập 1: Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm $A(1;2), B(5;2)$ và $C(1;-3)$

Hướng dẫn giải:

Với bài tập 1 này thầy sẽ hướng dẫn các bạn làm theo cách 1

Gọi phương trình đường tròn có dạng: $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với $a^2+b^2-c>0$

Vì đường tròn đi qua điểm $A(1;2)$ nên ta có:

$1^2+2^2-2.a.1-2.b.2-c=0\Leftrightarrow 2a+4b+c-5=0$   (1)

Vì đường tròn đi qua điểm $B(5;2)$ nên ta có:

$5^2+2^2-2.a.5-2.b.2-c=0\Leftrightarrow 10a+4b+c-29=0$      (2)

Vì đường tròn đi qua điểm $C(1;-3)$ nên ta có:

$1^2+(-3)^2-2.a.1-2.b.(-3)-c=0\Leftrightarrow 2a-6b+c-10=0$          (3)

Lấy (2) – (1) ta được: $8a=24\Leftrightarrow a=3$       (*)

Lấy (1) – (3) ta được: $10b=-5\Leftrightarrow b=-\frac{1}{2}$        (**)

Thay (*) và (**) vào (1) ta được: $2.3+4.(-\frac{1}{2})+c-5=0\Leftrightarrow c=1$

Thay 3 giá trị của a, b và c tìm được ở trên vào phương trình đường tròn ta được:

$x^2+y^2-6x+y-1=0$

Bài tập 2: Lập phương trình đường tròn đi qua 3 điểm $A(1;2), B(3;2), C(5;0)$

Hướng dẫn giải:

Với bài tập 2 này thầy sẽ hướng dẫn các bạn làm theo cách 3.

Ở đây thầy sẽ tìm phương trình đường trung trực của 2 cạnh AB và AC.

Phương trình đường trung trực cạnh AB:

Gọi M là trung điểm của cạnh AB thì tọa độ của M là: $M(2;2)$

Ta có $\vec{AB}(2;0)$ sẽ là vecto pháp tuyến của đường trung trực AB.

Đường trung trực AB có phương trình là: $2(x-2)+0.(y-2)=0\Leftrightarrow x-2=0$

Phương trình đường trung trực cạnh AC:

Gọi N là trung điểm của cạnh AC thì tọa độ của N là: $N(3;1)$

Ta có $\vec{AC}(4;-2)$ sẽ là vecto pháp tuyến của đường trung trực AC.

Đường trung trực AC có phương trình là: $4(x-3)-2(y-1)=0\Leftrightarrow 2x-y-5=0$

Tọa độ tâm của đường tròn:

Gọi $I$ là giao điểm của 2 đường trung trực của AB và AC thì $I$ cũng là tâm của đường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B và C. Tọa độ của $I$ thỏa mãn hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{ll}x-2=0\\2x-y-5=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x=2\\y=-1\end{array}\right.$

Vậy tọa độ của điểm I là $I(2;-1)$

Ta có: $\vec{IA}(1;-3)\Rightarrow IA=\sqrt{10}$

Bán kính của đường tròn là $R=IA=\sqrt{10}$

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: $(x-2)^2+(y+1)^2=10$