Viết phương trình đường trung bình của tam giác

Đường trung bình của tam giác là gì?

Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

Như vậy trong một tam giác thì có mấy đường trung bình? Tất nhiên là có 3 đường trung bình rồi. Bởi chúng ta thấy một tam giác có 3 cạnh cho nên sẽ có 3 trung điểm. Từ đó các bạn sẽ thấy có 3 đường trung bình trong tam giác.

Vậy đường trung trung bình có tính chất gì?

Tính chất: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Cho tam giác ABC có $AD = DB, AE = EC=> DE // BC$ và $DE =\dfrac{1}{2}BC$

Đây là một tính chất quan trọng để chúng ta có thể áp dụng vào việc viết phương trình của đường thẳng trong tam giác. Chúng ta đã hiểu khái niệm và tính chất của đường trung bình trong tam giác, vậy để viết phương trình đường trung bình trong tam giác tam phải làm như thế nào?

Xem thêm:

+ Cách viết phương trình đường phân giác trong tam giác
+ Cách viết phương trình đường trung tuyến trong tam giác
+ Cách viết phương trình đường trung trực trong tam giác

Cách viết phương trình đường trung bình trong tam giác:

Cách 1:

+ Xác định trung điểm M, N của 2 cạnh trong tam giác.

+ Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm M và N. Khi đó đường thẳng d sẽ là đường trung bình của tam giác.

Cách 2:

+ Xác định trung điểm E của một cạnh trong tam giác

+ Viết phương trình đường thẳng d đi qua trung điểm E và song song với 1 cạnh của tam giác. Khi đó d sẽ là đường trung bình của tam giác.

Bài tập viết phương trình đường trung bình trong tam giác

Bài tập 1: Cho tam giác ABC biết $A(1;2), B(-1;0, C(3;2))$. Lập phương trình các đường trung bình của tam giác ABC.

+ Tìm tọa độ trung điểm các cạnh AB, AC, BC của tam giác ABC:

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của ba cạnh AB, AC, BC khi đó ta có $M(0;1), N(2;2), P(1;1)$

+ Tìm các vecto: $\vec{MN}=(2;1), \vec{MP}=(1;0),\vec{NP}=(-1;-1) $

+ Đường trung bình MN đi qua M nhận $\vec{MN}=(2;1)$ làm vecto chỉ phương có phương trình tham số là: $\left\{\begin{array}{ll}x=2t\\y=1+t\end{array}\right.$

+ Đường trung bình MP đi qua M nhận $\vec{MP}=(1;0)$ làm vecto chỉ phương có phương trình tham số là: $\left\{\begin{array}{ll}x=t\\y=1\end{array}\right.$

+ Đường trung bình NP đi qua N nhận $\vec{NP}=(-1;-1)$ làm vecto chỉ phương có phương trình tham số là: $\left\{\begin{array}{ll}x=2-t\\y=2-t\end{array}\right.$

Các bạn có thể viết phương trình đường trung bình dưới dạng tổng quát. Khi đó các bạn phải tìm thêm vecto pháp tuyến của đường thẳng. Ở đây thầy tận dụng luôn các vecto chỉ phương để viết phương trình tham số.

Bài tập 2: Tam giác ABC có 2 đường trung bình kẻ từ trung điểm M của AB nằm trên các đường thẳng có phương trình x-4y+7 = 0 (d1) và 3x-2y-9 = 0 (d2) và tọa độ điểm B(7;1).Viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác đó. Tính diện tích tam giác ABC.

Hướng dẫn:

Phân tích: 

+ Trong bài này các bạn thấy đề cho trung điểm M của đoạn AB là giao điểm của hai đường trung bình d1 và d2 trong tam giác ABC. Tuy nhiên không nói rõ d1 và d2 song song với cạnh nào. Vì vậy ở đây thầy sẽ giả sử đường thẳng d1//BC và d2//AC.

+ Tìm tọa độ điểm M và A
+ Viết phương trình đường thẳng BC đi qua B và song song với d1
+ Viết phương trình đường thẳng AC đi qua A và song song với d2
+ Tọa độ C là giao điểm của hai đường thẳng AC và BC
+ Tính diện tích tam giác ABC theo công thức Herong

+ Tìm tọa độ điểm M: là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{\begin{array}{ll}x-4y+7=0\\3x-2y-9=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x=5\\y=3\end{array}\right. $ => M(5;3)

+ Tìm tọa độ điểm A: Vì M là trung điểm của AB nên ta có:

$\left\{\begin{array}{ll}x_A+x_B=2x_M\\y_A+y_B=2y_M\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x_A=2.5-7=3\\y_A=2.3-1=5\end{array}\right. $ => A(3;5)

+ Đường thẳng d1 có vecto pháp tuyến là $\vec{n_1}=(1;-4)$, $\vec{n_2}=(3;-2)$

+ Phương trình đường thẳng BC: BC Song song với d1 và đi qua B nên sẽ nhận vecto $\vec{n_1}=(1;-4)$ làm vecto pháp tuyến.

Phương trình đường thẳng BC là: $1(x-7)-4(y-1)=0$ <=> $x-4y-3=0$

+ Phương trình đường thẳng AC: AC Song song với d2 và đi qua A nên sẽ nhận vecto $\vec{n_2}=(3;-2)$ làm vecto pháp tuyến.

Phương trình đường thẳng AC là: $3(x-3)-2(y-5)=0$ <=> $3x-2y+1=0$

+ Tọa độ điểm C: là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{ll}x-4y-3=0\\3x-y+1=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x=-1\\y=-1\end{array}\right.$ => $C(-1;-1)$

+ Tính diện tích tam giác ABC: 

$\vec{AB}=(4;-4)$ => $AB=\sqrt{16+16}=4\sqrt{2}$

$\vec{AC}=(-4;-6)$ => $AC=\sqrt{16+36}=2\sqrt{13}$

$\vec{BC}=(-8;-2)$ => $BC=\sqrt{64+4}=2\sqrt{17}$

Nửa chu vi tam giác là: $p=(AB+BC+AC):2 \approx 21,11$ (đvdt)

Diện tích tam giác ABC là:

$S=\sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)}\approx 272,12$ (đvdt)

Bài giảng này thầy đã giúp các bạn nhớ lại đường trung bình của tam giác và tính chất của nó. Cách viết phương trình đường trung bình của tam giác với bài tập rất cơ bản. Từ đây các bạn có thể làm những dạng bài tập khác nâng cao hơn mà có liên quan tới đường trung bình. Mọi ý kiến đóng góp các bạn hãy bình luận dưới khung bình luận nhé.