Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

Cho đường cong $y=f(x)$ có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y=k’x+b$.

Gọi $M(x_0;y_0$ là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến của đường cong $y=f(x)$ tại điểm $M(x_0;y_0$ là:

$y=f'(x_0)(x-x_0)+y_0$

hay $y=k(x-x_0)+y_0$ với $k=f'(x_0)$

Để viết được phương trình tiếp tuyến thì các bạn cần xác định được $x_0, y_0, f'(x_0)$

Với dạng toán viết phương trình tiếp tuyến của đường cong $y=f(x)$ biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d) có phương trình là: $y=k’x+b$ thì các bạn sử dụng tính chất:

$k.k’=-1$ (tích 2 hệ số góc bằng -1)

$f'(x_0).k’=-1$

$f'(x_0)=\frac{-1}{k}$

Xem thêm bài giảng:

Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số $y=f(x)=2x^2+3x+1$ biết d vuông góc với đường thẳng d’: $y=x+2$.

Ta có: $f'(x)=4x+3$

Gọi $M(x_0;y_0)$ là tiếp điểm.

Khi đó: $k=f'(x_0)=4x_0+3$ và $y_0=f(x_0)=2x^2_0+3x_0+1$

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d’ có hệ số góc k’=1 nên ta có:

$k.k’=-1$

<=> $(4x_0+3).1=-1$

<=> $4x_0+3=-1$

<=> $x_0=-1$

  • $f'(x_0) = 4.(-1)+3 = -1$

Và $y_0 = f(x_0) = 2.(-1)^2+3(-1)+1=0$

Phương trình tiếp tuyến của parabol vuông góc với đường thẳng d’ là:

$y=-1(x+1)+0$ => $y=-x-1$

Bài 2: Cho đường cong (C): $y=\frac{1}{4}x^4-x^2+2$. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d):$ x-4y+12=0$

Hướng dẫn:

$f'(x)=x^3-2x$

<=> $y_0=f(x_0)=\frac{1}{4}x^4_0-x^2_0+2$

<=> $k =f'(x_0)=x^3_0-2x_0$

Đường thẳng d có hệ số góc là: $k’=\frac{1}{4}$

Ta có:

$k.k’=-1$

<=> $( x^3_0-2x_0).\frac{1}{4}=-1$

<=> $ x^3_0-2x_0-4=0$

<=> $(x_0-2)(x^2_0+2x_0+2)=0$ (xem thêm cách phân tích theo lược đồ hoocner )

<=> $x_0-2=0$

<=> $x_0=2$y_0=f(x_0)=f(2)=2$; $f'(x_0)=f'(2)=4$

Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) vuông góc với đường thẳng d là:

$y=4(x-2)+2$ => $y=4x-6$

Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C):$y=f(x)=\frac{x-3}{x+1}$ biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng (d): $x+2y-4 = 0$

Hướng dẫn:

Ta có: $y’=f'(x)=\frac{2}{(x+1)^2}$; $y_0=f(x_0)= )=\frac{x_0-3}{x_0+1}$

$ k=f'(x_0)=\frac{2}{(x_0+1)^2}$

Đường thẳng d có hệ số góc là: $k’=\frac{-1}{2}$

Ta có:

$k.k’=-1$

<=> $\frac{2}{(x_0+1)^2}.\frac{-1}{2}=-1$

<=> $\frac{2}{(x_0+1)^2}=2$

<=> $(x_0+1)^2=1$

<=> $x_0+1=1$ hoặc $x_0+1=-1$

<=> $x_0=0$ hoặc $x_0=-2$

Hệ số góc của tiếp tuyến là $k=2$

Với $x_0=0$ => $y_0 = f(0)=-3$. Phương trình tiếp tuyến của (C) là:

$y=2(x-0)-3$ => $y=2x-3$

Với $x_0=-2$ => $y_0=f(-2)=5$. Phương trình tiếp tuyến của (C) là:

$y=2(x+2)+5$ => $y=2x+9$

Bài tập viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d cho trước.

Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): $y=f(x)=\frac{x+2}{x+3}$ biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng (d): $x+4y-1 = 0$

Bài 2: Cho đường cong (C):$y=\frac{1}{4}x^4+2x-3$. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết:
a.Tiếp tuyến có hệ số góc k = 3.
b.Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): $x-6y+5=0$

Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số $y=2x^2+2x+1$ biết d vuông góc với đường thẳng $y=-x+3$

Bài 4: Cho hàm số $y=x^3-3x^2+2$ có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C):
a.Tại điểm có hoành độ bằng (-1).
b.Tại điểm có tung độ bằng 2.
c.Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=9x+1
d.Biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị (C).
e.Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=−124x+2
f.Biết tiếp tuyến có hệ số góc k = -3.
g.Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(−1;−2)

Chia sẻ lên mạng xã hội:

HOCTOAN24H

Cám ơn các bạn đã ghé thăm blog của mình. Hãy tặng HOCTOAN24H.NET 1 like + 1 lời động viên nếu thấy bài viết có ích với bạn. Chia sẻ với mục đích: "Cho đi là nhận"

Có thể bạn sẽ thích...

Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn!

Leave a Reply

You have to agree to the comment policy.

error: Xin lỗi đã làm phiền bạn !!