Xác định dấu của các giá trị lượng giác, biểu thức lượng giác

Để xác định được dấu của các giá trị lượng giác khi biết trước một cung lượng giác thì các bạn cần phải hiểu rõ cách sử dụng đường tròn lượng giác, biến đổi các công thức lượng giác. Cụ thể các bạn cần hiểu rõ giá trị lượng giác của hàm cơ bản sinx, cosx, tanx, cotx mang dấu âm hay dương khi nào?

Chúng ta sẽ nói qua một chút về dấu của các giá trị lượng giác cơ bản nhé:

• $sinx>0$ khi x thuộc cung phần tư thứ I và II, $sinx<0$ khi x thuộc cung phần tư thứ III và IV.
• $cosx>0$ khi x thuộc cung phần tư thứ I và IV, $cosx<0$ khi x thuộc cung phần tư thứ II và III.
• $tanx>0$ khi x thuộc cung phần tư thứ I và III, $tanx<0$ khi x thuộc cung phần tư thứ II và IV.
• $cotx>0$ khi x thuộc cung phần tư thứ I và III, $cotx<0$ khi x thuộc cung phần tư thứ II và IV.

Để hiểu rõ hơn tại sao ta lại có khẳng định này thì các bạn xem thêm ở video ở bài giảng này nhé: Hướng dẫn sử dụng đường tròn lượng giác.

Xem thêm bài giảng hay:

• Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn
• Viết phương trình đường tròn biết tâm và bán kính
• Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàng
• Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Sau đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu một số ví dụ cụ thể và phương pháp làm cho dạng toán này:

Bài tập 1: Cho $\frac{\pi}{2}<x<\pi$. Xác định dấu của các giá trị lượng giác sau:

a. $sin(\frac{3\pi}{2}-x)$              b. $cos(x+\frac{\pi}{2})$               c. $tan(\frac{3\pi}{2}+x)$            d. $cot(x-\frac{\pi}{2})$

Hướng dẫn:

Để có thể biết được dấu của các giá trị lượng giác với dạng bài tập này thầy sẽ hướng dẫn các bạn một số cách như sau:

Cách 1: Từ giả thiết $\frac{\pi}{2}<x<\pi$ ta sẽ biến đổi làm xuất hiện các cung mà bài toán yêu cầu.

a. $sin(\frac{3\pi}{2}-x)$

Ở đây chúng ta sẽ sử dụng các cách biến đổi, thêm bớt để xuất hiện cung $\frac{3\pi}{2}-x$.

Ta có:

$\frac{\pi}{2}<x<\pi \Leftrightarrow -\pi<x<-\frac{\pi}{2} \Leftrightarrow \frac{3\pi}{2}-\pi<\frac{3\pi}{2}-x<\frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow \frac{\pi}{2}<\frac{3\pi}{2}-x<\pi$

Do đó $\frac{3\pi}{2}-x $ thuộc cung phần tư thứ 2

Vậy $sin(\frac{3\pi}{2}-x)>0$

b. $cos(x+\frac{\pi}{2})$

Ta có:

$\frac{\pi}{2}<x<\pi \Leftrightarrow\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}<x<\pi+\frac{\pi}{2} \Leftrightarrow \pi<x+\frac{\pi}{2}<\frac{3\pi}{2}$

Do đó $x+\frac{\pi}{2}$ thuộc cung phần tư thứ 3

Vậy $cos(x+\frac{\pi}{2})<0$

c. $tan(\frac{3\pi}{2}+x)$

Ta có: 

$\frac{\pi}{2}<x<\pi \Leftrightarrow\frac{3\pi}{2}+\frac{\pi}{2}<\frac{3\pi}{2}+x<\frac{3\pi}{2}+\pi \Leftrightarrow 2\pi<\frac{3\pi}{2}+x<\frac{5\pi}{2}$

Do đó $\frac{3\pi}{2}+x$ thuộc cung phần tư thứ I.

Vậy $tan(\frac{3\pi}{2}+x)>0$

d. $cot(x-\frac{\pi}{2})$

Ta có:

$\frac{\pi}{2}<x<\pi \Leftrightarrow \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}<x-\frac{\pi}{2}<\pi-\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow 0< x-\frac{\pi}{2}<\frac{\pi}{2}$

Do đó $ x-\frac{\pi}{2}$ thuộc góc phần tư thứ I.

Vậy $cot(x-\frac{\pi}{2})>0$

Cách 2: Với cách 2 này thầy sẽ hướng dẫn các bạn sử dụng giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt (2 góc phụ nhau, bù nhau, đối nhau…). Tức là chúng ta sẽ biến đổi để xuất hiện các góc có liên quan đặc biệt.

Vì cách làm tương tự nên từ cách này thầy sẽ chỉ hướng dẫn các bạn làm 1 ví dụ thôi nhé. Các ví dụ khác làm tương tự.

a. $sin(\frac{3\pi}{2}-x)$

$= sin(\frac{\pi}{2}+\pi-x)$

$= sin[\frac{\pi}{2}-(x+\pi)]$      (sử dụng 2 góc phụ nhau)

$=cos(x-\pi)$       (sử dụng 2 góc đối)

$= cos(\pi-x)$     (sử dụng 2 góc bù)

$= -cosx$     Vì $\frac{\pi}{2}<x<\pi$ nên x thuộc góc phần tư thứ 2. Do đó $cosx<0\Rightarrow -cosx>0$. Vậy $ sin(\frac{3\pi}{2}-x)>0$

Cách 3: Ở cách này chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác (tổng thành tích…) để biến đổi.

a. $sin(\frac{3\pi}{2}-x)=sin\frac{3\pi}{2}.cosx-cos\frac{3\pi}{2}.sinx=- cosx -0=-cosx$

Vì $\frac{\pi}{2}<x<\pi$ nên x thuộc góc phần tư thứ 2. Do đó $cosx<0\Rightarrow -cosx>0$. Vậy $ sin(\frac{3\pi}{2}-x)>0$

Vậy là thầy đã hướng dẫn các bạn cách xác định dấu của các giá trị lượng giác, biểu thức lượng giác theo 3 cách. Các bạn có thể sử dụng cách nào thấy hợp lý và nhanh hơn đối với đề bài của mình thì lựa chọn.

Nếu bạn thấy bài viết hay thì hãy chia sẻ tới bạn bè của mình, commnent trong khung bên dưới để bày tỏ ý kiến của bạn.

Bài tập rèn luyện:

Cho $\pi<x<\frac{3\pi}{2}$. Hãy xác định dấu của các giá trị lượng giác sau:

a. $cos(x-\frac{\pi}{2})$                        b. $sin(x+\frac{\pi}{2})$

c. $tan(\frac{3\pi}{2}-x)$                       d. $cot(x+\pi)$