Tìm m để hàm số đạt cực trị (p5)

Bài toán: Tìm $m $ để hàm số $y=-x^3+3(m+1)x^2-3(2m+1)x+4 $ có điểm cực tiểu, cực đại và hai điểm cực tiểu, cực đại đối xứng nhau qua điểm $I(0;4).$

Đây là một bài toán nâng cao hơn so với các bài toán trong những video bài giảng trước về chuyên đề tìm cực trị của hàm số. Để làm được bài này thì các bạn vẫn áp dụng phương pháp cơ bản như trong các bài giảng trước để tìm điều kiện hàm số có cực trị. Tuy nhiên trong bài này còn liên quan tới tính chất đối xứng.

Bài toán này có thể chia thành 2 yêu cầu, tuy nhiên thầy chỉ hướng dẫn chúng ta cụ thể cách tìm điều kiện để 2 điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua 1 điểm $I$.

Yêu cầu 1: Tìm điều kiện của m để hàm số có cực đại, cực tiểu (xem video trước)

Yêu cầu 2: Hai điểm cực trị đối xứng nhau qua điểm $I$.

Để làm được yêu cầu 2 thì chúng ta cùng nhau đi phân tích như sau:

Cho 2 điểm $A(a_1;a_2)$ và $B(b_1;b_2)$. Hai điểm này gọi là đối xứng với nhau qua điểm $I$ nếu $I$ là trung điểm của $AB$. Tới đây ta thấy lại liên quan tới tính chất trung điểm rồi. Vậy mối liên hệ giữa tọa độ các điểm là như thế nào? Ta có tọa độ điểm $I$ là: $x=\frac{a_1+b_1}{2}; y=\frac{a_2+b_2}{2}$. Đó là một cách các bạn có thể làm được. Tức là thầy sẽ có cách thứ 2 ở bài toán này nữa.

Các bạn để ý sẽ thấy đây là hàm số bậc 3 nên vị trí giữa điểm cực đại, cực tiểu và điểm uốn như thế nào?

Các bạn thấy trên đồ thị, để 2 điểm cực trị đối xứng với nhau qua $I$ thì $I$ phải là điểm uốn của đồ thị hàm số. Dựa vào tính chất điểm uốn ta sẽ có thêm 1 cách giải nữa.

Vậy bài toán này thầy hướng chúng ta tới hai cách làm như vậy, nếu bạn nào có cách giải hay thì cùng chia sẽ dưới hộp bình luận nhé.

Còn đây là video thầy hướng dẫn cụ thể các bạn giải, nếu bạn nào chưa làm được theo hướng dẫn trên thì xem video nhé.