Các khái niệm liên quan vectơ

Trong chương trình học lớp 10 chúng ta bắt đầu làm quen với một khái niệm rất mới đó là vectơ. Rất nhiều bạn học sinh khi học ở THCS đã là một học sinh khá giỏi nhưng khi lên lớp 10 và bước đầu học những khái niệm liên quan vectơ, những bài toán về vectơ đều cảm thấy lạ lẫm, khó tiếp thu. Tuy nhiên nếu các bạn nắm chắc nhưng khái niệm cơ bản của vectơ, lấy kiến thức đó làm gốc rễ cộng với những kiến thức đã được xây dựng ở cấp 2 thì việc học vectơ sẽ trở lên đơn giản hơn rất nhiều. Vậy những khái niệm hay định nghĩa liên quan vectơ mà các bạn cần phải nẵm vững ở đây là gì?

1. Khái niệm vectơ

Cho đoạn thẳng AB. Nếu ta chọn điểm A làm điểm đầu, điểm B làm điểm cuối thì đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B. Khi đó ta nói AB là một đoạn thẳng có hướng. Vậy ta có định nghĩa về vectơ như sau

Định nghĩa: Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. 

Kí hiệu vectơ:

Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B, kí hiệu là $\vec{AB}$ và đọc là “vectơ AB“. Để vẽ vectơ AB ta vẽ đoạn thẳng AB và đánh dấu mũi tên ở đầu mút B.

Nếu vectơ có điểm đầu là B, điểm cuối là A, kí hiệu là $\vec{BA}$ và đọc là “vectơ BA“. Để vẽ vectơ BA ta vẽ đoạn thẳng AB và đánh dấu mũi tên ở đầu mút A.

Vectơ còn được kí hiệu là: $\vec{a}, \vec{b}, \vec{x}, \vec{y}$… (các chữ cái thường nhé) khi không chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của nó.

Đó là khái niệm về vectơ. Vậy những khái niệm liên quan vectơ ở đây là những gì? chúng ta cùng đọc tiếp nhé.

2. Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng

Giá của vectơ: Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của một vectơ.

Hai vectơ cùng phương: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

Hai vectơ cùng hướng: Hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{CD}$ cùng phương và có cùng hướng đi từ trái sang phải. Ta nói hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{CD}$ cùng hướng. Hai vectơ $\vec{MN}$ và $\vec{PQ}$ cùng phương nhưng ngược hướng nhau. Ta nói hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{CD}$ là hai vectơ ngược hướng.

Như vậy hai vectơ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. Còn hai vectơ cùng hướng thì chắc chắn là chúng phải cùng phương rồi. Dưới đây ta có một nhận xét khá quan trọng dùng để chứng minh vectơ cùng phương và chúng minh 3 điểm phân biệt thẳng hàng.

Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ cùng phương.

Chứng minh:

Thuận: Nếu ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng thì hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ cùng phương.

Khi ba điểm A, B, C thẳng hàng thì chúng sẽ cùng nằm trên một đường thẳng. Như vậy hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ sẽ có giá trùng nhau. Do đó theo định nghĩa hai vectơ cùng phương thì $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ sẽ cùng phương.

Đảo: Nếu hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ cùng phương thì ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng.

Khi hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ cùng phương thì hai đường thẳng AB và AC sẽ trùng nhau hoặc song song. Vì chúng có một điểm chung là A nên chúng phải có nhiều điểm chung khác nữa. Tức là chúng phải trùng nhau. Vậy ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Qua nhận xét trên chúng ta đã khẳng định được “Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ cùng phương” . Một câu hỏi đặt ra là nếu “Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng thì hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ có cùng hướng” hay không? Để biết được mệnh đề trên đúng hay sai thì chúng ta phải đi chứng minh thôi.

Chứng minh:

TH1: Ba điểm A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A và C. Khi đó hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{BC}$ sẽ cùng phương, đồng thời ta thấy hai vectơ này có hướng từ trái sang phải (nếu 3 điểm có thứ tự là A, B, C) và có hướng từ phải sang trái (nếu 3 điểm có thứ tự là C, B, A). Vậy hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{BC}$ cùng hướng.

Hình vẽ

TH2: Ba điểm A, B, C thẳng hàng và A nằm giữa B và C. Khi đó hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{BC}$ cùng phương. Mặt khác ta thấy vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{BC}$ có hướng ngược nhau. Vậy hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{BC}$ ngược hướng.

Qua hai trương hợp trên thì các bạn có thể kết luận cho mệnh đề trên là đúng hay sai chưa? chắc chắn là có kết luận rồi đúng không?

Kết luận: Nếu ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng thì hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ cùng hướng là sai.

Đọc tới đây thấy cũng khá mệt rồi, không biết những khái niệm liên quan vectơ đã hết chưa? Thưa các bạn là vẫn còn nhé, chúng ta chỉ mới biết được hai khái niệm liên quan thôi mà. Đọc tiếp nào…

Xem thêm: Tổng của hai vectơ

3. Hai vectơ bằng nhau

Độ dài của vectơ: Mỗi vectơ có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài của $\vec{AB}$ kí hiệu là $|\vec{AB}|$, như vậy: $|\vec{AB}| = AB$

Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị.

Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng, kí hiệu là: $\vec{a}$ = $\vec{b}$

Chú ý: Khi cho trước vec tơ $\vec{a}$ và một điểm O thì ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho: $\vec{OA}=\vec{a}$

Trong làm toán dạng vectơ này chúng ta sẽ gặp thường xuyên những bài tập yêu cầu chứng minh hai vectơ bằng nhau. Để chúng minh hai vectơ bằng nhau thì các bạn cần học tốt khái niệm hai vectơ bằng nhau ở trên, những dấu hiệu nhận biết dùng chứng minh hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông.

Các bạn có thể tham khảo video bài giảng này: Chứng minh hai vectơ bằng nhau

4. Vectơ  – không

Ta biết rằng mỗi vectơ có một điểm đầu và một điểm cuối và hoàn toàn được xác định khi biết điểm đầu và điểm cuối của nó.

Bây giờ với một điểm A bất kì ta quy ước có một véctơ đặ biệt mà điểm đầu và điểm cuối đều là A. Vectơ này được kí hiệu là $\vec{AA}$ và gọi là vectơ – không.

Vectơ $\vec{AA}$ nằm trên mọi đường thẳng đi qua A, vì vậy ta quy ước vectơ  – không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.

Ta cũng quy ước rằng: $\vec{AA} = 0$. Do đó có thể coi mọi vectơ – không đều bằng nhau.

Kí hiệu vectơ – không là: $\vec{0}$. Như vậy $\vec{0} = \vec{AA} = \vec{BB} = …$ với mọi điểm A, B …

Ok. Tới đây là thầy đã giới thiệu xong toàn bộ những khái niệm liên quan vectơ. Các bạn học sinh mới học cố gắng nghiên cứu kĩ những định nghĩa này nhé. Đây chỉ là những định nghĩa cơ bản nhất thôi, còn nhiều cái liên quan nữa thầy sẽ gửi tới các bạn trong những bài viết sau.

Trong nội dung về vectơ này thầy cũng có một bộ tài liệu tổng hợp lý thuyết vectơ hình học 10, các bạn xem ở đây nhé.